Aha, nun ist alles viel klarer. Es geht also um eine implizite Funktion $g$ und deren Nullstelle und Ableitung. Von $g$ war bisher nicht die Rede, auch nicht in Deiner Lösung.
Die Idee Deiner Ableitung ist richtig, aber da kommt ja kein $f$ drin vor, hat also auch in der Ableitung nichts zu suchen.
Der entscheidende Punkt ist, dass die Funktion $g$ implizit gegeben ist durch die Gleichung $$f(x,g(x))=0 \text{ für alle }x$$.
Um diese Gleichung dreht sich alles.
Nullstellen sind, wie immer, die $x$, für die gilt $g(x)=0$. Einsetzen in die Gleichung ausrechnen, fertig.
Durch Ableitung der Gleichung und umstellen erhält man einen Zusammenhang zwischen $g'(x)$ und $g(x)$, aus dem man dann $g'(x)$ an der Nullstelle ausrechnet.