Es ist zielführend und interessant die rekursive Folge in geschlossener Form darzustellen.
Zur Heuristik schreibe ich mir die ersten Folgenglieder gerne mal hin:
\(a_{1}=3^{-2}\)    \(a_{2}=3^{-3}\)   \(a_{3}=3^{-5}\)  \(a_{4}=3^{-9}\)    \(a_{5}=3^{-17}\)

Hier fällt auf, dass die Differenz der Exponenten die Zweierpotenzen  1 2 4 8 ...... sind
Dann denkt man natürlich sofort an die Formel 1+2+4+8+ .... +\(2^n=2^{n+1}-1\)
Schaut man ein zweites Mal auf die Exponenten, so fällt auf:  2=1+1  3=2+1  5=4+1 9=8+1 17=16+1 ....

Nun erkennt man leicht: das allgemeine Bildungsgesetz dieser Folge: \((a_{n})=3^{-2^{n-1}-1}=3^{-(1+2^{n-1})}\)

Die Richtigkeit dieser heuristischen Überlegungen kann man leicht durch vollständige Induktion beweisen.
Die einzig nötigen Hilfsmittel dazu sind die Potenzgesetze.

Mit Hilfe der Darstellung in geschlossener Form, kann man alle geforderten Untersuchungen sofort erledigen.