Hey Felix,

bedenke, dass das Taylorpolynom eine lokale Approximation deiner Funktion durch Polynome ist. Dafür verwendest du ja die Ableitungen, die dir "Informationen" über den Verlauf der Funktion geben, wie z.B. die Steigung (1. Ableitung) oder die Krümmung (2. Ableitung), etc. 

Du willst hier eine lineare Approximation durchführen, deshalb brauchst du ja irgendwie den Anstieg der Funktion im Entwicklungspunkt 0.

Die Funktion ist ja hier nur so definiert, weil die 0 die Definitionslücke schließen soll. Du schaust dir also an, wie sich der Anstieg der Funktion verhält und dafür brauchst du eben die obere Zeile der Funktion.

Würdest du nur den Punkt 0 betrachten, dann kannst du daraus ja kein geeignetes Taylorpolynom bekommen.

Ansonsten kann man nicht pauschal sagen, wann mal welche Funktion in abschnittsweisen Funktionen benutzt. Normalerweise benutzt man die Funktion, die im Endwicklungspunkt gilt, wenn das allerdings nur ein Punkt ist (meist zur Beseitigung von Definitionslücken), dann benutzt man die Funktion, die um diesen Punkt herum gilt.

Ich hoffe das beantwortet deine Frage.

VG
Stefan