Differentialgleichungssystem über Laplace lösen

Aufrufe: 544     Aktiv: 20.12.2019 um 00:01
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Hallo,

ich habe mal wieder eine Frage zu der Aufgabe. In diesem Fall betrifft es ein Differenzialgleichungssystem welches (laut Lösung per Laplace Transformation zu lösen ist). Die Lösung schicke ich dabei auch mal noch rein, da es mir sehr lieb wäre, wenn es mir anhand der Lösung erklärt werden könne, dass ich diese verstehe.

Lösung:

 

Ich verstehe dort einfach nicht wie er auf das Laplace Transformierte System kommt.

Ich hätte jetzt mal vermutet dass er in der ersten Zeile bei: s    -1    | 1/s

auf die 1/s kommt, indem er Sigma(t) transformiert. Dabei ist sigma(t) immer 1 und durch die Transformation erhält man 1/s.

Aber wie kommt er auf die anderen Werte? Von der ersten eile, sowie von der zweiten Zeile?

Und was macht er dann dort genau mit der cramerschen Regel? Verstehe das nicht, hab mir schon viel überlegt und zusammengereimt, komme da aber nicht drauf.

 

Das umtransformieren in den sin wiederrum am Ende verstehe ich. Dazu muss man ja lediglich die Tabelle verwenden.

 

Kann mir da irgendeiner weiterhelfen???

 

LG

 

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Hallo,

durch die Laplace Transformation erhält man

$$ f'(t) = sF(s)- F(0) $$

Da \( x_1(0) = x_2(0) = 0 \), denke ich erhält man dort wo die Ableitungen sind einfach ein \(s \). Für die Funktionen selbst, gilt

$$ f(t) = F(s) $$

Damit erhalten wir das System

$$ sF_1(s) - F_2(s) \\ F_1(s) + sF_2(s) $$

Warum \( \sigma(t) = \frac 1 s \) gilt, bin ich mir echt unsicher. Meiner Meinung nach kann man über eine komplett allgeimein gehaltene Funktion keine Aussage über die Transformierte machen. Aber ich habe auch nur etwas theoretische Erfahrung und bin mir deshalb nicht sicher.

Die Cramersche Regel wird genutzt um die Lösung eines inhomgenen LGS zu bestimmen. Für die Komponenten des Lösunsgvektors gilt

$$ x_i  = \frac {\mathrm{det}(A_i)} {\mathrm{det}(A)} $$

Mit 

$$ \mathrm{det}(A) =s^2 +1 \\ \mathrm{det}(A_1) = 1 \\ \mathrm{det}(A_2) = - \frac 1 s $$

erhälst du dann aber auch nicht genau die Lösungen die dort angegeben werden, denn

$$ x_1 = \frac 1 {x^2 +1} $$

und

$$ x_2 = - \frac 1 s \cdot \frac 1 {s^2 +1} $$

oder habe ich mich irgendwo verrechnet?

Die Lösungen machen meiner Meinung nach auch nur Sinn, wenn \( \sigma (t) = 1 \) gilt. 

Steht das denn irgendwo?

Ich hoffe das hilft dir schon mal weiter.

Grüße Christian

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Komischer Weise kann ich hier nichtmehr antworten, lediglich nurnoch einen Kommentar hinzufügen. Dann probier ichs mal so. Nein zu sigma(t) = 1 steht nichts, aber ich gehe davon aus, dass dies verwendet wird in diesem Fall.
Mit der Cramerschen Regel komme ich zudem auf die selbe Lösung wie du. Möglicherweise ist dies echt ein fehler in der Lösung.

Was ich nun aber nicht verstanden habe:

oben steht ja das System:

x' 1(t) - x2(t) = sigma
x'2(t) +x1(t) = 0

die erste Zeile verstehe ich:
Das ist dann sF1(s) - 0 - F2(s) = 1/s Dabei wird das F(s) einfach 1 gesetzt, daher dann: s -1 1/s . Habe ich das so richtig verstanden?

Allerdings hätte ich doch dann in zweiter Zeile:
sF2(s) - F(0) + F1(s) ?? das wäre dann doch: s 1 0 oder nicht?
Das hab ich noch nicht so ganz verstanden.   ─   chrissi99 19.12.2019 um 19:16
Hmm wie gesagt die Lösung macht auch nur Sinn, wenn \( \sigma(t) = 1 \). Aber trotzdem sehr seltsam, warum dort dann nicht einfach eine \( 1 \) steht :D
Wir haben ein LGS mit den Unbekannten \( F_1(s) \) und \( F_2(s) \), deshalb wird aus
$$ \begin{array}{cccc}I: & sF_1(s) -1F_2(s) & = & \frac 1 s \\ II: & 1F_1(s) + sF_2(s) & = & 0 \end{array} $$
mit Gauß
$$ \left( \begin{matrix} s & -1 \\ 1 & s \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} \frac 1 s \\ 0 \end{matrix} \right) $$
Ansonsten setze mal \( F_1(s) = x \) und \( F_2(s) = y \). Dann ist es vielleicht einleuchtender.   ─   christian_strack 20.12.2019 um 00:00

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