Question

Bijektive stetige Abbildungen

Aufrufe: 917 Aktiv: 21.05.2021 um 16:00

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Sei f : K → Y eine bijektive stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, wobei K kompakt sei. Zeigen Sie, dass dann auch die Umkehrabbildung
g := f ^(−1) stetig ist.

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gefragt 21.05.2021 um 13:25

userd43151
Punkte: 10

Hast du dir denn schon selbst Gedanken darüber gemacht? Was musst du denn per Definition überprüfen, um zu zeigen, dass \(f^{-1}\) stetig ist? ─ stal 21.05.2021 um 13:51

Ja, es gibt ja diesen Satz zur Stetigkeit der Umkehrfunktion, aber irgendwie verstehe ich diesen nicht ganz . ─ userd43151 21.05.2021 um 14:20

Wenn in deiner Vorlesung schon gezeigt wurde, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven stetigen Funktion von einem kompakten in einen beliebigen metrischen Raum umkehrbar ist, dann musst du natürlich nur diesen Satz zitieren. Das bezweifle ich aber, denn dann wäre die Aufgabe nicht so wahnsinnig spannend. Ich meinte eher: Wie habt ihr denn die Stetigkeit in einem metrischen Raum definiert? Welche der folgenden Aussagen sind dir (entweder als Definition oder als Satz) bekannt?

Sei \(f:X\to Y\) eine Abbildung zwischen metrischen Räumen \(X,Y\). Dann ist \(f\) stetig genau dann, wenn \(\forall x\in X\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall y\in X:d(x,y)<\delta\Longrightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon\).

Sei \(f:X\to Y\) eine Abbildung zwischen metrischen Räumen \(X,Y\). Dann ist \(f\) stetig genau dann, wenn \(f^{-1}(A)\) offen (bzw. abgeschlossen) für alle offenen (bzw. abgeschlossenen) Mengen \(A\subseteq Y\) ist.

Sei \(f:X\to Y\) eine Abbildung zwischen metrischen Räumen \(X,Y\). Dann ist \(f\) stetig genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X\) gilt: \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)\).

Wenn in deiner Vorlesung schon gezeigt wurde, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven stetigen Funktion von einem kompakten in einen beliebigen metrischen Raum umkehrbar ist, dann musst du natürlich nur diesen Satz zitieren. Das bezweifle ich aber, denn dann wäre die Aufgabe nicht so wahnsinnig spannend. Ich meinte eher: Wie habt ihr denn die Stetigkeit in einem metrischen Raum definiert? Welche der folgenden Aussagen sind dir (entweder als Definition oder als Satz) bekannt?

Sei \(f:X\to Y\) eine Abbildung zwischen metrischen Räumen \(X,Y\). Dann ist \(f\) stetig genau dann, wenn \(\forall x\in X\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall y\in X:d(x,y)<\delta\Longrightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon\).

Sei \(f:X\to Y\) eine Abbildung zwischen metrischen Räumen \(X,Y\). Dann ist \(f\) stetig genau dann, wenn \(f^{-1}(A)\) offen (bzw. abgeschlossen) für alle offenen (bzw. abgeschlossenen) Mengen \(A\subseteq Y\) ist.

Sei \(f:X\to Y\) eine Abbildung zwischen metrischen Räumen \(X,Y\). Dann ist \(f\) stetig genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X\) gilt: \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)\).

─ stal 21.05.2021 um 14:34

So wie ich das sehe hatten wir die drei Aussagen in irgendeiner Form schon, ich vermute das dann diese auch die sind, die ich brauche um das zu beweisen? ─ userd43151 21.05.2021 um 14:41

Ich verstehe halt nicht ganz was das Kompakt damit zu tun hat. Das taucht ja nirgends in den Sätzen auf. ─ userd43151 21.05.2021 um 14:51

Siehe meine Antwort, das braucht man, um die Argumentation zu vollenden. ─ stal 21.05.2021 um 14:53

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1 Antwort

stal · Answer 1 · 2021-05-21T14:49:16Z

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Wenn du all diese Aussagen kennst, dann nehmen wir die mittlere mit abgeschlossenen Mengen. Um zu zeigen, dass \(f^{-1}\) stetig ist, müssen wir also für eine beliebige abgeschlossene Menge \(A\subseteq K\) zeigen, dass \((f^{-1})^{-1}(A)=f(A)\) wieder abgeschlossen ist. Da \(K\) kompakt und \(A\) abgeschlossen ist, ist \(A\) ebenfalls kompakt. Was weißt du über stetige Bilder von kompakten Mengen?

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geantwortet 21.05.2021 um 14:49

stal
Punkte: 11.27K

Nicht so viel. Ich kann zwar der Logik folgen, habe aber absolut keine Ahnung wie ich das zeigen kann. ─ userd43151 21.05.2021 um 15:05

Ihr habt sicher mal gezeigt, dass das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion wieder kompakt ist, ansonsten kannst du versuchen, das selbst zu zeigen. Also wissen wir, dass \(f(A)\) kompakt ist. Wir wollen, dass \(f(A)\) abgeschlossen ist. Siehst du jetzt, wie du das folgern kannst? ─ stal 21.05.2021 um 15:15

Ja, vielen Dank für den Ansatz.
Habs jetzt hinbekommen, aber ohne deine Hilfe hätte ich wohl noch wesentlich länger dran gesessen :) ─ userd43151 21.05.2021 um 16:00

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