Vollständige Induktion: Ungleichung

Aufrufe: 55     Aktiv: 16.03.2021 um 15:33

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  1. Für welche n element aus N gilt die Ungleichung:
    1
    +6n+2n <3n .

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Hey,

für \( n \geq 4 \) sollte diese Ungleichung immer erfüllt sein. Kann man durch einfaches probieren herausfinden. Das es dann für alle gilt ist die Aufgabe der Induktion!

VG
Stefan

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Ja das ist mir klar jedoch muss ich das auch beweisen.. und hier liegt mein Problem.   ─   user29aedf 16.03.2021 um 14:40

Induktionsanfang machst du hier mit n=4. Anschließend Induktionsvoraussetzung und Induktionsschritt.

Im Induktionsschritt wirst du dann irgendwie sowas haben:

\( 1 + 6n + 6 + 2^{n+1} = 7 + 6n + 2\cdot 2^n = 2\cdot (3,5 + 3n + 2^n) \)

Hier kannst du jetzt argumentieren, warum die Klammer kleiner ist als \( 1 + 6n + 2^n \). Anschließend verwendest du deine Induktionsvoraussetzung und bist fertig.
  ─   el_stefano 16.03.2021 um 15:08

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Im Induktionsschritt:
\(1+6(n+1)+2^{n+1}\)
\(=1+6n+6+2^n\cdot2\)
\(=1+6n+6+2^n+2^n\)
\(=1+6n+2^n+(6+2^n)\)
Jetzt musst du nur noch entsprechende Abschätzung für den Klammerterm finden!!
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