Orthogonale Matrix

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Mein Kumpel und ich sind uns bei der Übung auf eine Mathe-Klausur unsicher, wie wir diese Altklausur-Aufgabe lösen sollen.

Für die a)
Ist es besser, die Orthogonalität zu zeigen, indem man mit der transponierten Matrix multipliziert und dann schaut, ob die Einheitsmatrix rauskommt?
oder
indem man zuerst prüft, ob die Spalten normiert sind (Skalarprodukt = 1) und dann, ob sie auch orthogonal zueinander sind (Skalarprodukt = 0)?

Für die b):
Es ist ja nach der Inversen zu A und nicht nach der Inversen von der orthonalen Matrix  gefragt. Gibt es einen Trick, oder muss ich tatsächlich mit dem Adjunkten-Verfahren ran?

Ich weiß, dass es einen Trick gibt, mit der Orthogonalität zu arbeiten. A ist zwar nicht orthogonal, aber mit dem komischen Bruch multipliziert schon. Vielleicht, dass ich A transponiere und dann wieder durch Wurzel6 teile?
Orthogonalität
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Student, Punkte: 112

 

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2 Antworten
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Zur a): Mach das, was du besser kannst. Möglich ist beides. Ich sehe beispielsweise durch sofortiges Hinsehen, dass alle Spalten orthogonal sind und die Länge \(\sqrt{6}\) haben. Da fange ich sicherlich nicht an, zwei Matrizen zu multiplizieren.

Zu b): Welche Eigenschaft hat denn eine orthogonale Matrix? Nutze diese Eigenschaft aus und löse nach \(A^{-1}\) auf.
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Selbstständig, Punkte: 6.47K
 
Zu a): stimmt, das sieht man tatsächlich sofort. Ich wollte nur sichergehen, dass beides geht.

Zu b): sie hat die Eigenschaft, dass sie multipliziert mit ihrer transponierten/ inversen Matrix die Einheitsmatrix ergibt. Ich sehe nicht, wie mir das weiterhilft. Denn A ist ja nicht orthogonal.   ─   akimboslice vor 2 Tagen, 20 Stunden
Aber \(\frac{1}{\sqrt{6}}A\) ist orthogonal. Du kannst doch Skalare einfach rausziehen.   ─   cauchy vor 2 Tagen, 16 Stunden

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-1
\(\frac{1}{\sqrt6}A^T*\frac{1}{\sqrt6}A=\frac{1}{6}\left(\begin {array}{} 6&0&0\\0&6&0\\0&0&6 \end{array}\right)=I\)
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Lehrer/Professor, Punkte: 1.66K
 
Wurde nicht gefragt und ist auch kaum hilfreich.   ─   cauchy vor 2 Tagen, 21 Stunden

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