Um es etwas einfacher zu machen, zeigen wir lieber: Für alle \(m\in\mathbb N\) gibt es nur endlich viele \(n\in\mathbb N\) mit \(\varphi(n)=m\). Das ist natürlich äquivalent zu deiner Behauptung.
Sei \(n\in\mathbb N\) mit \(\varphi(n)=m\). Sei \(p\) ein Primfaktor von \(n\) und \(k\) die \(p\)-Potenz von \(n\), also \(p^k|n\) und \(p^{k+1}\nmid n\). Dann gilt \(p-1|\varphi(n)\) und \(p^{k-1}|\varphi(n)\). Insbesondere gilt also \(p-1\leq\varphi(n),p^{k-1}\leq\varphi(n)\) für jeden Primfaktor von \(p\).
Jetzt überleg dir, wie groß \(n\) maximal sein kann. Hat \(n\) zu viele Primfaktoren, dann wird \(p-1\) größer als \(\varphi(n)\), werden die Exponenten der Primfaktoren zu groß, wird \(p^{k-1}\) größer als \(\varphi(n)\).

Das ist die Beweisidee, jetzt musst du das ganze nur noch formalisieren.