An sich ist das denke ich in Ordnung. Vorausgesetzt das \(a^{\log_a(x)}=x\) und \(\log_b (a^r)=r\cdot \log_b(a)\) bereits bekannt sind und bewiesen worden. Dann bräuchtest du meiner Meinung nach nicht einmal die Verkettung. Es müsste genügen:
\(x=a^{\log_a(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \log_c(x) =\log_c \left(a^{\log_a (x)} \right) \quad \Leftrightarrow \quad \log_c(x) =\log_a(x) \cdot \log_c(a) \quad \Leftrightarrow \quad \log_a(x)=\dfrac{\log_c(x)}{\log_c(a)}\)
Ich würde es noch allgemein für eine Basis \(c>0, c\neq 1\) beweisen und nicht nur für den Logarithmus zur Basis 10.
Aber wie gesagt, deine Gesetzmäßigkeiten für den Logarithmus, welche du benutzt, sollten bereits bewiesen worden sein. Dann ist die Argumentation legitim.
Hoffe das hilft weiter.
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ah okei ja die Aufgabe möchte es einfach mit Basis 10 aber das ist ja kein Ding das ganze mit einer beliebigen Basis zu machen. ─ karate 09.01.2021 um 16:23