Wie beweise ich den Basiswechsel des Logarithmus?

Aufrufe: 1937     Aktiv: 09.01.2021 um 19:27

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Hallo Zusammen

Ich müsste folgende Aussage beweisen. In unseren Lösungen haben sie es recht umständlich gemacht. Ich habe dann im Internet einen eleganteren Beweis gefunden, der zwar immer noch nicht dem entspricht wie ich es dazumals versucht habe aber schon verständlicher ist. Nun wollte ich trotzdem mal kurz nachfragen ob es auch so gehen würde oder ob das kompletter Humbuk ist.

Vielen Dank für eure Hilfe.

 

 

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Student, Punkte: 1.95K

 
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An sich ist das denke ich in Ordnung. Vorausgesetzt das \(a^{\log_a(x)}=x\) und \(\log_b (a^r)=r\cdot \log_b(a)\) bereits bekannt sind und bewiesen worden. Dann bräuchtest du meiner Meinung nach nicht einmal die Verkettung. Es müsste genügen:

\(x=a^{\log_a(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \log_c(x) =\log_c \left(a^{\log_a (x)} \right) \quad \Leftrightarrow \quad \log_c(x) =\log_a(x) \cdot \log_c(a) \quad \Leftrightarrow \quad \log_a(x)=\dfrac{\log_c(x)}{\log_c(a)}\)

Ich würde es noch allgemein für eine Basis \(c>0, c\neq 1\) beweisen und nicht nur für den Logarithmus zur Basis 10. 

Aber wie gesagt, deine Gesetzmäßigkeiten für den Logarithmus, welche du benutzt, sollten bereits bewiesen worden sein. Dann ist die Argumentation legitim.

Hoffe das hilft weiter.

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Lehrer/Professor, Punkte: 8.97K

 

ja genau also alles das was ich verwendet habe habe ich aus dem Skript in dem wir alles bewiesen haben.
ah okei ja die Aufgabe möchte es einfach mit Basis 10 aber das ist ja kein Ding das ganze mit einer beliebigen Basis zu machen.
  ─   karate 09.01.2021 um 16:23

Ja dann ist die Argumentation in Ordnung. Wie gesagt kannst glaube ich auf die Verkettung verzichten, aber es ist auch nicht falsch sie mit aufzuschreiben.   ─   maqu 09.01.2021 um 16:43

super danke   ─   karate 09.01.2021 um 16:44

@mikn ich kenne den \(\log\) (Logarithmus ohne Angabe einer Basis) als 10er Logarithmus .... und ja deine Variante ist noch schneller :D   ─   maqu 09.01.2021 um 18:40

ok die Bezeichnungen kenn ich auch so bis auf log ... mir ist lg auch geläufig für den dekadischen Logarithmus und habe log auch immer so behandelt, vielleicht ist es wirklich eine Sache der Definition ... tatsächlich habe ich in einiger Literatur (häufig in der theoretischen Informatik) die Bezeichnung lg gelesen, wobei darunter der 2er Logarithmus zu verstehen war ... ich kenne es auch als lb für binärer Logarithmus   ─   maqu 09.01.2021 um 19:13

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