Vektorrechnung Rechteck mit 2 Unbekannten Punkten

Erste Frage Aufrufe: 54     Aktiv: 08.11.2021 um 12:01

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Gegeben: B(5;2;-1)  C(2/3/3)
Gerade g=(5/2/-1)+k×(1/1/0)

Aufgabe: die strecke BC ist die Diagonale eines Rechtecke BGCH mit H Element von g. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte H und G.

Ich habe schon verschiedene Gleichungen aufgestellt...komme aber nie auf ein Ergebnis bzw. sinnvolles Ergebnis. Habe auch den Mittelpunkt der Diagonalen ausgerechnet M (3,5/2,5/1).
Ich habe versucht die Diagonale gleichzusetzen etc.
H ist ja aufgrund der Gerade Gleichung H (5+k/2+k/-1).
Ich brauche dringend Hilfe! Auch ein Ansatz oder Hinweis würde mir sehr helfen!
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Die beiden Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
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Ich weiß aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...ich hab den ganzen Tag gerechnet und kam nur auf sinnlose Ergebnisse 😔   ─   user7fcc98 07.11.2021 um 20:46

Wenn du den Mittelpunkt kennst und H, dann hast du doch eine Geradengleichung , auf der auch G liegt. Und der Abstand von H ist 2*(Abstand von H zu M).   ─   lernspass 07.11.2021 um 20:48

Aber wie bist du auf den Mittelpunkt der Diagonalen gekommen? Du hast einfach nur Differenzen gebildet, oder? Du musst eine Gerade bestimmen, die durch B und C geht. Dann den Abstand berechnen über die Länge des Richtungsvektors. Und dann den Mittelpunkt mit der halben Strecke ab B berechnen. Da kommen bei mir aber nicht so schön gerade Werte raus.   ─   lernspass 07.11.2021 um 20:57

Ich hab 1/2 x BC gerechnet für den Mittelpunkt. Warum geht das nicht?   ─   user7fcc98 07.11.2021 um 21:10

Aber danke! Ich werde es morgen nochmal so probieren!   ─   user7fcc98 07.11.2021 um 21:14

So, wie du das gemacht hast, ist das richtig. Ich hatte einen Denkfehler. Oft muss man einen Vektor auf die Länge 1 normieren, damit man einen bestimmten Abstand von einem Punkt erreichen kann. Die Normierung eines Vektors auf die Länge 1 erreicht man, indem man den Vektor mit \(\frac{1}{Vektorlänge}\) multipliziert. Wenn wir das hier machen, dann gehen wir dann genau \(\frac{Vektorlänge}{2}\) vom Punkt B aus. Dann kürzen sich die Längen raus und es bleibt der Faktor \(\frac{1}{2}\). Zu kompliziert gedacht von mir. Da der Vektor bei B anfängt und bei C endet, reicht es einfach den halben Vektor zu nehmen und auf B zu addieren. Dein Mittelpunkt stimmt.   ─   lernspass 08.11.2021 um 08:34

Die Antwort von cauchy hat mich übrigens noch auf eine entscheidende Idee gebracht. Die Vektoren \(\overrightarrow{HB}\) und \(\overrightarrow{HC}\) müssen senkrecht aufeinander stehen, da es ja ein Rechteck werden soll, und da hast du dann rechte Winkel.   ─   lernspass 08.11.2021 um 09:34

Perfekt ich habe es gelöst, vielen Dank!   ─   user7fcc98 08.11.2021 um 12:01

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Bilde eine Gerade durch $C$, die orthogonal zu $g$ ist. Dann ist der Schnittpunkt der beiden Geraden der Punkt $H$.
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