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Einheit der Integralfunktion

Erste Frage Aufrufe: 444 Aktiv: 28.04.2024 um 20:06

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Hallo zusammen,
ich hätte mal ein Frage bezüglich Integralfunktionen und Einheiten. Undzwar habe ich eine Funktion gegeben, die die Geschwindigkeit in km/h zu einem bestimmten Zeitpunkt (in Minuten) beschreibt und soll nun ein mögliches Intervall in Minuten angeben, in welchem der Zug eine Strecke von 7km zurückgelegt hat. Somit war meine Idee eine Integralfunktion von 0 bis x aufzustellen und anschließend den den Zeitpunkt x bestimmen, an dem die Integralfunktion 7km schneidet. Nun war mein erster Ansatz allerdings falsch, da die Funktion zunächst noch mit (1/60) multipliziert werden musste. Ich nehme mal an, dass das damit zu tun hat, dass die Stunden erst in Minuten umgewandelt werden müssen, allerdings ist mir der Zusammenhang noch nicht ganz klar geworden und ich bezweifel, dass ich das bei zukünftig ähnlichen Aufgaben berücksichtigen würde. Daher wollte ich mal fragen, ob mir das eventuell jemand erklären könnte, sodass ich den Zusammenhang besser verstehe kann.

Vielen Dank für die Unterstützung im Voraus!

EDIT vom 28.04.2024 um 17:31:

Ansatz mit richtiger Lösung:

Ansatz mit falscher Lösung:

Lösung Buch:

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gefragt 28.04.2024 um 16:19

userff8006
Punkte: 10

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1 Antwort

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mikn · Answer 1 · 2024-04-28T16:51:12Z

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Beide Gleichungen auf dem Zettel sind falsch, weil die Integrationsvariable nicht gleichzeitig Grenze sein kann.
Und es muss hier gar nichts. Nimm Deine Idee, beachte obigen Hinweis, und rechne.
Schaue erst in eine vorgegebene Lösung, wenn Du ein Ergebnis hast. Los geht's.

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geantwortet 28.04.2024 um 16:51

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.1K

Tut mir leid, dass ich versehentlich die obere Grenze gleich der Integrationsvariable genannt habe, muss natürlich anders benannt werden. Außerdem habe ich das bereits ausgerechnet und bin auch auf das richtige Ergebnis gekommen, ich wollte hier nur meinen Ansatz teilen und nicht die vollständige Rechnung. In die Lösung habe ich erst geschaut, als ich bemerkt habe, dass mit der Integralfunktion (Variante 1) irgendetwas falsch sein muss und habe dann gemerkt, dass mit dem Faktor (1/60) dann doch das richtige Ergebnis rausgekommen ist. (Übrigens haben die in der Lösung einen anderen Ansatz gewählt, der aber auf das selbe Ergebnis hinausläuft, somit habe ich meinen Ansatz selbstständig gewählt und nicht direkt in die Lösung geschaut :) )
Meine Frage hat sich ja auch eigentlich nur auf die Bedeutung des Vorfaktors 1/60 bezogen. ─ userff8006 28.04.2024 um 17:06

Ohne Deine Rechnung, oder mindestens Dein vollständiges Ergebnis, kann ich Dir da nichts erklären. Wieso hast Du das richtige Ergebnis, wenn Deine Integralfunktion falsch ist? Also, erkläre nichts weiter, lade Deine Rechnung hoch (oder Deinen Ansatz und Dein mit diesem Ansatz erhaltenes Ergebnis. ─ mikn 28.04.2024 um 17:12

ok, habe mal neue Bilder hinzugefügt ─ userff8006 28.04.2024 um 17:32

Ok, da muss man in der Tat mit den Einheiten achtgeben.
Als Merkregel folgendes: Der Hintergrund des Integralzeichens ist ja eine Summe (Du erinnerst Dich an Ober/Untersummen?!), daher stammt das

$\int$ auch von einem

$S$ ab.

$\int f(x)\,dx$ heißt dann (siehe Ober/Untersummen), dass

$f(x)$ 'e mit

$dx$ 'en multipliziert und aufsummiert werden. Beim Summieren bleibt die Einheit gleich, die einzelnen Summanden haben die Einheit

$\frac{km}h\cdot min$ (Einheit von

$f(x)$ mal Einheit von

$x$ ), also hier:

$\frac{km}{60}$ . D.h. der Integralwert hat diese Einheit. Wenn die Strecke

$=7\,km$ sein soll, muss eben

$\frac1{60}\int f(x)\,dx=7$ sein.
Hierbei hat

$x$ weiterhin die Einheit

$min$ .
Komplizierter wird das ganze durch die Information, dass die Geschwindigkeit

$f(x)$ nur in einem kleinen Zeitfenster von 2 Min. gilt. Die Lösung der Gleichung mit dem Integral liefert aber

$t=2.47$ , der genaue Wert spielt keine Rolle, es ist auf jeden Fall mehr als 2 Min., daher muss der gefragte Zeitraum länger als die Bremsphase sein. Also muss man die vollen 2 Min. der Bremsphase nehmen plus einen passenden Zeitraum um auf die

$7\,km$ zu kommen.

Ok, da muss man in der Tat mit den Einheiten achtgeben.
Als Merkregel folgendes: Der Hintergrund des Integralzeichens ist ja eine Summe (Du erinnerst Dich an Ober/Untersummen?!), daher stammt das $\int$ auch von einem $S$ ab. $\int f(x)\,dx$ heißt dann (siehe Ober/Untersummen), dass $f(x)$'e mit $dx$'en multipliziert und aufsummiert werden. Beim Summieren bleibt die Einheit gleich, die einzelnen Summanden haben die Einheit $\frac{km}h\cdot min$ (Einheit von $f(x)$ mal Einheit von $x$), also hier: $\frac{km}{60}$. D.h. der Integralwert hat diese Einheit. Wenn die Strecke $=7\,km$ sein soll, muss eben $\frac1{60}\int f(x)\,dx=7$ sein.
Hierbei hat $x$ weiterhin die Einheit $min$.
Komplizierter wird das ganze durch die Information, dass die Geschwindigkeit $f(x)$ nur in einem kleinen Zeitfenster von 2 Min. gilt. Die Lösung der Gleichung mit dem Integral liefert aber $t=2.47$, der genaue Wert spielt keine Rolle, es ist auf jeden Fall mehr als 2 Min., daher muss der gefragte Zeitraum länger als die Bremsphase sein. Also muss man die vollen 2 Min. der Bremsphase nehmen plus einen passenden Zeitraum um auf die $7\,km$ zu kommen.

─ mikn 28.04.2024 um 19:14

Vielen Dank für die schnelle Antwort, hat mir wirklich sehr gut geholfen zu Verstehen, wie die Einheiten des Integrals zustande kommen und ggf. umgewandelt werden müssen. ─ userff8006 28.04.2024 um 20:06

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