Lösung eines Anfangswertproblems auf Differenzierbarkeit in R prüfen

Aufrufe: 471     Aktiv: 19.05.2021 um 11:14
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Hallo,

ich habe eine Aufgabe bei der im ersten Schritt das folgende Anfangswertproblem gelöst werden soll.

\(f'(x)-\alpha x * f(x) = 0,  f(0)=1\)  wobei \(\alpha\) Element der reelen Zahlen und konstant

Dies ist mir glaube ich auch gelungen als Lösung bekomme ich 
\(y=e^{\frac{\alpha}{2}*x^2}\) 
heraus 

Im nächsten Schritt soll dann allerdings noch gezeigt werden, dass
\(y=e^{\frac{\alpha}{2}*x^2}\)  die einzige auf ganz R(reele Zahlen) differenzierbare Lösung dieses Problems ist. Und bei diesem Schritt habe ich Probleme. Als Tipp steht bei der Aufgabe bei, dass ich den Mittelwertsatz anweden soll. Allerdings weiß ich nicht genau wie ich den dort anwenden soll, weil eigentlich ist doch die Vorraussetzung für den Mittelwertsatz das die Funktion differenzierbar ist aber das soll ich ja noch prüfen? 

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar. 

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Du sollst doch hier nur zeigen, dass es die einzige differenzierbare Lösung ist. Da du eh nur mögliche differenzierbare Lösungen betrachtest, kannst du den Mittelwertsatz direkt anwenden oder?
Im übrigen ist die Lösung schon mal richtig :)

Du sollst hier vermutlich eine Folgerung des Mittelwertsatzes nutzen. Vielleicht habt ihr sowas ähnliches bei dem Exponentialansatz gemacht. Habt ihr irgendwo bewiesen, dass
$$ f'(x) = \lambda f(x) $$
als einzige Lösung die Exponentialfunktion hat?   ─   christian_strack 17.05.2021 um 16:28
Schonmal vielen dank für die Hilfe
Ne ich glaube nicht also den Exponentialsatz kenne ich aber den Beweis dafür habe ich bisher noch nicht gesehen.
Muss ich mir dann eine weitere Funktion \( g(x) = e^{\frac{\alpha}{2}*x^2 }*\lambda \) als sozusagen beliebige Lösung des Anfangswertproblem definieren und diese dann in den Mittelwertsatz einsetzen also:

\( g'(\xi) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} \)

Aber dann ist mir irgendwie immer noch nicht klar wie ich daraus schließen kann das meine Lösung die einzig differenzierbare ist oder bin ich da auf dem Holzweg   ─   user012e73 17.05.2021 um 16:58
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Wie gesagt, ich denke du sollst eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz nehmen. Schau mal hier: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Konstanzkriterium:_Zusammenhang_zwischen_Konstanz_einer_Funktion_und_ihrer_Ableitung#Identit%C3%A4tssatz_der_Differentialrechnung
Ich denke du sollst das so ähnlich angehen.   ─   christian_strack 18.05.2021 um 09:49
Vielen vielen Dank für die Hilfe dadurch habe ich es jetzt glaube ich endlich verstanden habe jetzt folgendes gemacht:
\( g(x)=e^{-\frac{\alpha}{2}*x^2}*\phi(x)\) als Hilfsfunktion definiert und gesagt \(\phi(x)\) ist eine beliebige Lösung des AWP
Dann gezeigt das man die Funktion g(x) Ableiten kann mit Kettenregel also sie differenzierbar ist und dann auch g(x) das Kriterium für Konstanz angewendet
\( g(x)=e^{-\frac{\alpha}{2}*x^2}*\phi(x)=c\)
\(\Rightarrow \phi(x)=c*e^{\frac{\alpha}{2}*x^2}\)
Weil ja durch das AWP gegeben ist das f(0)=1 seien soll muss dann in diesem Fall c=1 und dann habe ich die Funktion die ich zeigen soll als einzige mögliche Lösung   ─   user012e73 18.05.2021 um 21:19
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Kleiner Tipp: \(\cdot\) '\cdot' ist schöner als Multiplikationszeichen -- oder einfach weglassen ;D   ─   posix 19.05.2021 um 11:12
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Ja sehr gut. :) Genau du hast das Kriterium angewendet, weil man dort sieht das die Ableitung Null sein muss. ich weiß nicht ob du das Kriterium für Konstanz noch zeigen musst, da im Hinweis ja steht, dass du den Mittelwertsatz nutzen sollst. Aber das ist eine direkte Folgerung aus dem Mittelwertsatz-
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