Matrix anhand der eigenwerte bestimmen

Aufrufe: 351     Aktiv: 09.02.2023 um 12:29

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Es sind die Eigenwerte Lambda1=1 und Lambda2=2 gegeben. Man soll daraus eine beliebige Matrix C aufstellen, bei der alle Nebendiagonalelemente von 0 verschieden sind. 

ich habe versucht, mit der eigenwert-methode die werte herauszufinden, komme aber auf unlösbare gleichungssysteme. 

EDIT vom 03.02.2023 um 19:40:

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Student, Punkte: 18

 
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Vollständige Aufgabenstellung bitte. Soll C die genannte EWe haben? Darf C 2x2 sein?
Stichwort: Diagonalisierung. Schau das in Deinen Unterlagen nach, dann sollte die Idee klar sein und der Rest nicht mehr schwer.
Deine Methode (was soll "Eigenwert-Methode" sein?) scheint zu sein, ein LGS für die Bedingung aufzustellen. Das kann man machen, ist aber nicht der einfachste Weg. Vorher solltest Du Dir dabei überlegen, wieviele Lösungen dieses LGS wohl haben muss, d.h. wieviele solche Matrizen C es wohl gibt. Damit Du nicht überrascht bist mit Deinem LGS.
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Ich habe ein Bild der Aufgabe angehängt. Ja C soll die genannte EWe haben. Die Dimension der Matrix C ist nicht vorgegeben. Ich verstehe die Herangehensweise mit der Diagonalisierung nicht. Etwas klarer bitte. Meine Methode war es, die Determinante aus C-Lambda*Einheitsmatrix auszurechnen, aber das hat nicht weitergeholfen. Und die 0 darf nicht als Nebendiagonalelement stehen. Zählen bei einer 2x2 Matrix die Einträge a12 und a21 als Nebendiagonalelemente? Wenn nicht, dann wäre es ja einfach   ─   nicholas19y 03.02.2023 um 19:44

Eine Matrix zu diagonalisieren heißt doch, eine quadratische Matrix in eine Diagonalmatrix umzuwandeln - eine Diagonalmatrix ist doch eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, oder irre ich mich? Die Null darf bei der gesuchten Matrix aber nicht vorkommen, oder?   ─   nicholas19y 03.02.2023 um 19:49

Die Diagonalmatrix wäre [(1,0),(0,2] aber ich wüsste nicht wie ich dadurch auf C komme. In meinen Unterlagen finde ich auch nichts dazu. Können Sie mir bitte etwas auf die Sprünge helfen?   ─   nicholas19y 03.02.2023 um 20:07

Für die Diagonalmatrix D gilt doch: D=T^-1*A*T. Um auf T, die Transformationsmatrix zu kommen, muss ich doch die Eigenvektoren der Matrix A (in meinem Fall Matrix C) berechnen. Aber ich kenne doch die Einträge der Matrix C nicht. Oder ist das der falsche Ansatz?   ─   nicholas19y 03.02.2023 um 20:25

Dann löse doch die Gleichung einfach nach $A$ auf, dann weißt du, wie du $A$ berechnen kannst.   ─   cauchy 03.02.2023 um 21:04

Wenn ich die Gleichung auflöse komme ich auf A=T^-1*D*T. Wenn ich damit A berechne bestehen die Nebendiagonalelemente immer noch aus Nullen, was laut Aufgabe nicht sein darf. Bitte um Hilfe   ─   nicholas19y 03.02.2023 um 21:34

Ich habe T=[(1,0),(0,1)], also die Einheitsmatrix.   ─   nicholas19y 03.02.2023 um 22:07

Wie ist das gemeint?   ─   nicholas19y 04.02.2023 um 11:04

Ich habe es auch mit allgemeinen Werten x1 und x2 probiert und die Matrix C hat am Ende trotzdem Nullen als Nebendiagonalelemente. Deshalb habe ich kapituliert.   ─   nicholas19y 04.02.2023 um 13:40

Ich habe T=[(x1,0),(0,x2)] und T^-1=[(x2,0),(0,x1)]   ─   nicholas19y 04.02.2023 um 15:50

Durch nachrechnen komme ich auf die Inverse T^-1=[(1/x1,0),(0,1/x2)]. Wenn ich dann T*A*T^-1 rechne komme ich trotzdem auf C=[(1,0),(0,2)], was laut Aufgabe nicht sein darf. Bitte um Unterstützung.   ─   nicholas19y 04.02.2023 um 16:19

Wenn man Diagonalmatrizen multipliziert, erhält man wieder eine Diagonalmatrix. Das kann also nicht klappen. Und die Inverse ist falsch.   ─   cauchy 04.02.2023 um 16:24

Wieso Nicht-Diagonalmatrizen? Ich dachte ich muss T*D*T^-1 rechnen, um auf die Matrix C zu kommen.   ─   nicholas19y 05.02.2023 um 12:10

Hast du meinen Kommentar gelesen? Wenn du für $T$ eine Diagonalmatrix benutzt, ist $C$ auch eine Diagonalmatrix und du hast Nullen, die du aber gar nicht willst. Folglich darfst du für $T$ also eben keine Diagonalmatrix benutzen.   ─   cauchy 05.02.2023 um 12:23

Ich habe es nun hingekriegt und habe die Lösung: [(5,6),(-2,-2)] als Beispiel rausbekommen. Dazu habe ich als Matrix T [(1,2),(2,3)] benutzt. Diese muss ja symmetrisch sein, ansonsten klappt es nicht. Ich habe auch als Matrix T [(2,4),(4,7)] probiert und damit hat es nicht geklappt. Mit Matrix T [(2,3),(3,4)] hat es wiederum geklappt. Funktioniert das nur bei Matrizen mit niedrigen Einträgen unter der Voraussetzung, dass die Symmetrie gegeben ist? Oder funktioniert das bei allen und ich habe mich bei der einen Matrix nur verrechnet? Und warum funktioniert das nur bei manchen, falls ich mich nicht verrechnet habe?
Danke für die Hilfe
  ─   nicholas19y 07.02.2023 um 21:04

Ich merke, dass es nicht klappt, wenn die neue Matrix nicht die Eigenwerte 1 und 2 hat. Oder habe ich mich verrechnet?   ─   nicholas19y 08.02.2023 um 21:43

Möglicherweise wurde auch $T^{-1}$ falsch berechnet. Man kann also auch erstmal $TT^{-1}=I$ prüfen. Fehlersuche ist immer auch eine gute Übung.   ─   cauchy 08.02.2023 um 23:57

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