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Wieso passen diese Sätze zu den prädikatenlogischen Ausdrücken?

Aufrufe: 859 Aktiv: 13.10.2020 um 08:59

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Ich habe hier zwei prädikatenlogische Ausdrücke, bei denen ich auf dem Schlauch stehe:

$\forall y\ \in\mathbb{N}:\forall x\ \in\mathbb{N}:\ x\ =y$ und ein weiterer prädikatenlogischer Ausdruck:

$\forall y\ \in\mathbb{N}:\exists!x\ \in\mathbb{N}:x\ =\ y$ (Der Existenzquantor mit dem Ausrufezeichen bedeutet: "Es gibt genau ein x, ..."

Hier habe ich zwei Sätze zur Verfügung:

(1) "Es gibt jede natürliche Zahl nur ein Mal" und (2) "Es gibt nur eine natürliche Zahl".

Ich habe den oberen Ausdruck mit (1) verbunden. Und den unteren Ausdruck habe ich mit (2) verbunden. Aber die Lösungen haben es jetzt schon wieder genau umgekehrt!?!? Ich verstehe das absolut nicht. Wieso ist das jetzt anders rum!?? Entschuldige, aber das frustriert mich gerade momentan. Ich habe absolut keine Ahnung. Auch eine Veranschaulichung als Pfeilbild hilft mir hier nicht weiter.

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gefragt 13.10.2020 um 01:14

imlop
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1 Antwort

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kallemann · Answer 1 · 2020-10-13T08:59:11Z

Nun eigentlich ganz trivial:

Du hast den ersten Ausdruck mit: FÜR ALLE y- Elemente aus den natürlichen Zahlen gilt, dass FÜR ALLE x-Elemente aus den natürlichen Zahlen gilt, dass x gleich y ist. Nun daraus folgt ja schon das es nur eine natürliche Zahl gibt, also dass die zweite Aussage stimmt. Du nimmst sozusagen einmal alle natürlichen Zahlen (das erste für alle) und dann sagst du das dafür gilt, dass nochmal alle natürlichen Zahlen (das zweite für alle) gleich den ersten natürlichen Zahlen sind. Nun aber da es unendlich viele unterschiedliche natürliche Zahlen gibt, dann kann es nur eine natürliche Zahl geben, damit die Aussage gilt. Also hast du, dass der 1. Ausdruck in Verbindung mit der 2. Aussage steht.

Der zweite Ausdruck ist: FÜR ALLE y-Elemente aus den natürlichen Zahlen gilt, dass GENAU EIN x-Element aus den natürlichen Zahlen existiert, sodass gilt x gleich y. Anhand der Worte genau ein kannst du schon wissen, dass es sich um die erste Aussage handel muss, aber ich versuche dir auch das nochmal zu erklären. Es heißt für alle y-Elemente aus den natürlichen Zahlen kannst du dir nur genau ein x-Element aus den natürlichen Zahlen nehmen, damit gilt das dein x- und y-Element gleich sind. Bsp. nimmst du als y die Zahlen 2, 50, 1400 dann hast du: Es existiert einmal nur genau ein x-Element mit x = 2 in den natürlichen Zahlen, sodass x = 2 = y gilt. Das ist eine wahre Aussage. Genauso für y = 50 und y = 1400. Also hast du, dass der 2. Ausdruck in Verbindung mit der 1. Aussage steht.

Wie oben schon kurz erwähnt, hättest du auch mit dem Ausschlusskiriterium arbeiten können, denn der Existenzquantor mit ! steht doch für genau einmal oder nur einmal oder etc., wie es halt in der ersten Aussage steht. Dann hättest du direkt 1. Ausdruck zur 2. Aussage und 2. Ausdruck zur 1. Aussage. Aber nachvollziehen ist natürlich immer besser! ;)

Hoffe ich konnte es einigermaßen verständlich gestalten, Aussagenlogik ist bei mir schon etwas länger her und wurde auch nur in der Einführungsveranstaltung bei mir behandelt :)