Wie kann man diesen Umformungsschritt nachvollziehen?

Aufrufe: 95     Aktiv: 11.01.2022 um 15:55

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Wenn ich das umformen müsste, woher hätte man wissen können das Wurzel(n) * Wurzel(n+1)  bei teiler und nenner wieder gleich groß wie die Summe ist?
Wie kommt man auf diesen Denkschritt?
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einfach den linken Term erweitert, um die Brüche zu addieren   ─   fix 10.01.2022 um 19:28

Wie meinst Du, dass man um den linken Term erweitert hat? Links habe ich doch nur meine Summe stehen, warum ist das um den linken Term, also um meine linke Summe erweitert, wenn ich mal (n+1) mache und dann insgesamt gleich meiner Summe? Danke für die Hilfe   ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 19:32

ich meine natürlich die Terme auf der rechten Seite, von den beiden der linke (habe ich schlecht formuliert). Der Linke Term (also \(\sqrt{n}\)) wird mit dem Nenner des rechten Terms erweitert, damit man die Brüche addieren kann. Solltest du dich daran nicht mehr erinnern, schau dir am besten ein yt Video dazu an.   ─   fix 10.01.2022 um 19:35

Nein, das ist mir klar, dieser Rechenschritt an sich, also die Erweiterung, damit man die Brüche addieren kann.

Ich verstehe nur nicht, warum das dann gleich meiner Summe ist? Also woher konnte man zuvor sehen, dass wenn man die Erweiterung durchfüjrt, dass die linke und rechte Seite danach gleich groß sind?

ALso warum ist die Summe dann gleich groß wie die linke Seite, woher sehe ich das, dass durch diesen Rechenschritt dies passiert?
  ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 19:40

Es sind mehrere Umformungsschritte nacheinander dargestellt. Der oberste Term der rechten Seite ist gleich der Summe, der zweite ist kleiner als der oberste Term und wegen der Transitivität dann auch kleiner als die originale Summe. Ich verstehe nicht ganz wo das Problem liegt?   ─   fix 10.01.2022 um 19:59

1. Also erste Zeile ist die linke und rechte Seite gleich groß (siehe = zwischen den beiden Seiten)
2. Danach tausche ich auf der rechten Seite die Summe mit Wurzel(n) und logischerweise die linke Seite ist jetzt größer als die rechte Seite (siehe > zwischen der linken und rechten Seite)

3. der Bruch der rechten Seite wird erweitert um Wurzel(n+1) -->Linke und rechte Seite sind wieder gleich groß.
--> Meine Frage: Wie wusste man bei Schritt 3, dass nach der Erweiterung beide Seiten wieder gleich groß sind, wie sieht man das? Ich bin bei der Umformung auch darauf gekommen, dass ich erweitere etc. mir ist nur nicht aufgefallen, dass die linke und rechte Seite dann wieder äquivalent bei einem Schritt wurden, also gleich groß... Wie kann man nachvollziehen / von selber drauf kommen, dass nach der Erweiterung die beiden Seiten wieder gleich groß sind, damit ich das Umformungzeichen gegen ein Gleichzeichen tausche.
  ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 20:03

die Gleichheits- bzw. Ungleichheitszeichen beziehen sich jeweils auf den Term darüber, nicht auf die Summe oben links   ─   fix 10.01.2022 um 20:09



Aber warum wurde dann bei der drittletzten Zeile wieder ein kleiner Zeichen verwendet?
  ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 20:17

"die Gleichheits- bzw. Ungleichheitszeichen beziehen sich jeweils auf den Term darüber, nicht auf die Summe oben links"
Aber bei der zweiten Zeile bezieht es sich doch auf die Summe oben links und drüber oder nicht? Und es bezieht sich eigentlich doch überall auch auf die linke Summe, da die erste Zeile der rechten Seite äquivalent zur linken Seite ist.
  ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 20:24

Es ist wie gesagt eine Gleichungs- bzw. Ungleichungskette. Wenn $A=B=C$, dann ist natürlich klar, dass auch $A=C$ gilt. Selbiges gilt dann für Abschätzungen.   ─   cauchy 10.01.2022 um 21:06
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Man liest das ganze als Gleichungs- bzw. Ungleichungskette von oben nach unten, einfach damit es übersichtlicher ist und weil man alle Schritte auch nicht in eine Zeile bekommen würde.
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Danke... Habe schon ganze zeit gedacht, das bezieht sich auf die linke obere Summe.......

Joa dann ist es jetzt schon mal klarer, aber warum ist dann die 3 letzte Zeile wieder ein > Zeichen? Bezieht sich die 3 letzte Zeile zumindest wieder auf die Summe?
  ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 20:18

Ah warte mal Moment. DIe erste Zeile ist doch gleich groß

DIe summe Links und die Summe rechts + 1/Wurzel(n+1)

Wenn sich alles drunter auf die oberste Zeile bezieht, egal ob links oder rechts, bezieht sich ja auch alles auf die linke obere Summe, da ja dort in der ersten Zeile gesagt wurde dass die beiden Seiten gleich groß sind.
  ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 20:26

Es bezieht sich immer (!) auf die vorherige Zeile. Stell dir einfach vor, du schreibst alles in eine Zeile...   ─   cauchy 10.01.2022 um 20:30

Die drittletzte Zeile wird kleiner, weil man den Zähler kleiner macht, indem man das $n$ aus der Wurzel nimmt. Die Wurzelfunktion ist ja monoton wachsend.   ─   cauchy 10.01.2022 um 20:37

okay danke, aber warum darf ich das? Also warum darf ich einfach die n aus der Wurzel nehmen? Gesucht war n+1, wenn man sowieso beliebig Zeug entfernen dürfte, könnte ich doch schon bei der ersten Zeile alles entfernen bis auf n+1, also woher weiß man, wann man Sachen entfernen darf, wie dieses n z. B. und wann man das nicht darf?   ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 20:44

Weil du offenbar nur eine Ungleichung zeigen musst. Da muss man dann eben entsprechend abschätzen. Was man wie entfernen kann, ist alles eine Übungssache. Da man aber weiß, wo man hin möchte, kriegt man oft schnell raus, was man ggf. abschätzen kann.   ─   cauchy 10.01.2022 um 21:04

Danke dir, aber wie abschätzen? Was ist legitim zu entfernen und was nicht? Also was genau heißt da abschätzen? Wenn jemand schätzt, dass er alles ind er ersten Zeile entfernen möchte, außer n+1, darf er ads dann?   ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 21:15

Wenn die Abschätzung gültig ist und es zum Ziel führt, ist das in Ordnung.   ─   cauchy 10.01.2022 um 21:19

Aber warum ist die Abschätzung in der ersten Zeile z. B. nicht gültig? Wenn ich sagen wollen würde, ich entferne alles in der ersten zeile bis auf das Wurzel(n+1)? Warum ist diese Abschätzung nicht in Ordnung, aber die drunter liegende?   ─   mikrokjaro0 10.01.2022 um 21:22

Du könntest so abschätzen, nur kommst du damit dann nicht weiter. Die Summe wird natürlich kleiner, wenn du alle Summanden bis auf den letzten weglässt. Aber wie gesagt, da willst du ja gar nicht hin.   ─   cauchy 11.01.2022 um 01:22

Ich darf nie zurück abschätzen oder, nur immer in eine Richtung?   ─   mikrokjaro0 11.01.2022 um 02:03

Genau. Beispielsweise bringt dir $10>5<12$ nichts, denn $10>12$ ist ja falsch.   ─   cauchy 11.01.2022 um 03:36

Stimmt, aber wenn ich z. B. so abschätte 10 >5 dann schätze ich die 5 auf 4 ab und dann die 5 auf 8

dann hätte ich 10 >5 >4 >8.

Die 8 ist ja immer noch kleiner als meine 10
  ─   mikrokjaro0 11.01.2022 um 13:57

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4 ist definitiv nicht grösser als 8.   ─   zest 11.01.2022 um 14:55

Eh sorry meinte natürlich

10>5>4<8
  ─   mikrokjaro0 11.01.2022 um 15:55

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