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Die Argumentation ist leider falsch. Wenn man es ohne elementenweise nachrechnen machen will man nutzt z.B. \(A\cap B \subseteq A\) und \(A - C \subseteq A\). Ansonsten nimm dir ein Element \(x \in \) linke Seite und zeige es ist auch rechts drinnen. Dann siehst du auch warum nicht leere Menge unbedingt ist
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mathejean
28.01.2023 um 19:57
Was meinst du genau mit elementenweise ?
um mengengleichungen zu zeigen haben wir normalerweise in die vorlesungen sowas gemacht:
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇒ x ∈ A ⇔
¬((x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C)) ⇒ x ∈ A⇔
(¬x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ (¬x ∈ B ∨ x ∈ C) ∨ x ∈ A⇔
x ∈ C
Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass es so falsch ist.
─ user6ab395 29.01.2023 um 19:27
um mengengleichungen zu zeigen haben wir normalerweise in die vorlesungen sowas gemacht:
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇒ x ∈ A ⇔
¬((x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C)) ⇒ x ∈ A⇔
(¬x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ (¬x ∈ B ∨ x ∈ C) ∨ x ∈ A⇔
x ∈ C
Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass es so falsch ist.
─ user6ab395 29.01.2023 um 19:27
Genau, das meine ich mit elementenweise (also den ansatz). Hier geht es nur um eine inklusion es braucht also keine äquivalenzumformungen. Sind die Aussagen \(A \cap B\subseteq A\) und \(A-C \subseteq A\) klar, dann kann man es viel leichter und eleganter machen
─
mathejean
29.01.2023 um 20:12
wäre dass dann ein der richtiger beweis?
beweis:
x ∈ (A\B) ∩ (B\C) ⇔
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇔
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ C) ⇔
(A\C)
Also Alle Elemente aus A ohne C sind eine Teilmenge von A, deshalb gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A ⇔ (A\C) ⊆ A.
─ user6ab395 30.01.2023 um 11:51
beweis:
x ∈ (A\B) ∩ (B\C) ⇔
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇔
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ C) ⇔
(A\C)
Also Alle Elemente aus A ohne C sind eine Teilmenge von A, deshalb gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A ⇔ (A\C) ⊆ A.
─ user6ab395 30.01.2023 um 11:51
beweis:
(A\B) ∩ (B\C) ist ein Leere Menge, da ein Element nicht außer B und auch in B sein kann, deshalb gilt (A\B) ∩ (B\C) ⇔ {} und da {} die Teilmenge von jede Menge ist, gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A ─ user6ab395 28.01.2023 um 18:32