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Integralrechnung mit variable

Aufrufe: 932 Aktiv: 12.07.2021 um 21:58

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wie sollte man da am besten vorgehen ?

danke schonmal

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gefragt 12.07.2021 um 17:42

timderbwlstudent
Punkte: 14

Also die zwei klassischen Methoden wären ja Integration durch Substitution oder Partielle Integration. Kannst du diese Verfahren anwenden? ─ labis 12.07.2021 um 18:20

eig schon aber das mit dem b verwirrt mich ein bisschen
─ timderbwlstudent 12.07.2021 um 18:30

Immer wenn du eine Konstante hast, die nicht vom Integral abhängt, kannst du sie vor das Integral ziehen. Das sieht dann so aus:

\[ f(x) = \int_0^5 bx * ln(x^2)dx = b*\int_0^5 x * ln(x^2)dx \]

weißt du wie man nun weiter macht? ─ labis 12.07.2021 um 18:35

Ja würde jz es umschreiben in 2*x*ln(x) und die 2 dann auch raus ziehen. Danach partiell integrieren wobei ich ln ableiten würde und x aufleiten. Nur danach was mach ich dann. ─ timderbwlstudent 12.07.2021 um 18:50

als kleine Anmerkung. Aufleiten gibt es nicht, du lernst ja was dazu, also weißt du das du es ab nun integrieren nennst :D

ja ich würde es genau so machen wie du:
\[ f(x)= 2b \int_0^5x*ln(x) dx \]
$ u'= x \ \ \ , u=\frac{1}{2}x^2 $ und $ v= ln(x) \ \ \ , v'=\frac{1}{x} $

\[ \Rightarrow f(x)= 2b \int_0^5 x*ln(x) dx = \frac{1}{2}x^2*ln(x)- \int_0^5 \frac{1}{2}x^2*\frac{1}{x} dx\]
einverstanden? ─ labis 12.07.2021 um 18:59

Ja genau und nun? ─ timderbwlstudent 12.07.2021 um 19:08

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die Formel lautet ja: $ \int f'*g = f*g - \int f*g' $ du kennst alle Teile. Wie kann man also es nun aufschreiben? ─ labis 12.07.2021 um 19:23

kann man nicht das einfach so abschreiben ? und den integral teil dann integrieren ? ─ timderbwlstudent 12.07.2021 um 19:33

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kriegst du das nun zusammengefasst? :) ─ labis 12.07.2021 um 19:34

aso zusammengefasst , ne leider nicht. ─ timderbwlstudent 12.07.2021 um 20:10

1

$ = 2b \int x \cdot ln(x) dx $

$ = \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x}dx $

auf einen Bruchsttrich gepackt, geht ja: $ \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \int \frac{x^2}{2x}dx $

dann sieht man ganz simpel was man kürzen kann: $ \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \int \frac{x}{2}dx $

dann kannst du ja die 1/2 vor das Integral ziehen: $ \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \frac{1}{2}\int x \ dx $

integrieren: $ \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \frac{1}{2}[\frac{1}{2} x^2] $

ausklammern der 1/2x^2: $ \frac{1}{2}x^2 \cdot ( ln(x) - \frac{1}{2}) $

hier angekommen wissen wir ja vom anfang, dass laut partieller Integration: $ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $ also könne wir das hier $ \frac{1}{2}x^2 \cdot ( ln(x) - \frac{1}{2}) $ statt $ \int x \cdot ln(x) dx $ schreiben und erhalten

$ = 2b \int x \cdot ln(x) dx = 2b \ \cdot (\frac{1}{2}x^2 \cdot ( ln(x) - \frac{1}{2})) $

das kann man jetzt wieder weiter zusammenfassen und erhält: $ = bx^2 \cdot ( \ln(x) - \frac{1}{2}) $

$ = 2b \int x \cdot  ln(x) dx $

$ = \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x}dx $

auf einen Bruchsttrich gepackt, geht ja: $  \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \int \frac{x^2}{2x}dx $

dann sieht man ganz simpel was man kürzen kann: $ \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \int \frac{x}{2}dx $

dann kannst du ja die 1/2 vor das Integral ziehen: $  \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \frac{1}{2}\int x \ dx $

integrieren: $  \frac{1}{2}x^2 \cdot ln(x) - \frac{1}{2}[\frac{1}{2} x^2] $

ausklammern der 1/2x^2: $  \frac{1}{2}x^2 \cdot ( ln(x) - \frac{1}{2})  $

hier angekommen wissen wir ja vom anfang, dass laut partieller Integration: $ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $ also könne wir das hier $  \frac{1}{2}x^2 \cdot ( ln(x) - \frac{1}{2})  $ statt  $ \int x \cdot  ln(x) dx $ schreiben und erhalten

$ = 2b \int x \cdot  ln(x) dx  = 2b \ \cdot (\frac{1}{2}x^2 \cdot ( ln(x) - \frac{1}{2})) $

das kann man jetzt wieder weiter zusammenfassen und erhält: $ = bx^2 \cdot ( \ln(x) - \frac{1}{2}) $

─ labis 12.07.2021 um 21:18

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1 Antwort

fix · Answer 1 · 2021-07-12T18:23:31Z

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Moin,
hier lässt du die variable b als Parameter stehen und integrierst wie gewohnt. Partielle Integration bietet sich hier besonders an, sodass man leicht auf das Ergebnis $\frac{25b \cdot (2 \cdot \ln(5)-1)}{2}$ kommt.
LG
Fix

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geantwortet 12.07.2021 um 18:23

fix
Student, Punkte: 3.82K

Wofür steht das 2in(5)? ─ timderbwlstudent 12.07.2021 um 18:51

das ist ein Tippfehler beim Eingeben der Formel. Wenn Du 2\dot ln(5) tippst, ist der Punkt über dem ersten Zeichen danach: $2\dot ln(5)$. Richtig wäre 2\cdot ln(5), dann bekommst Du $2\cdot ln(5)$. Diese Version war gewollt. Es wurde schlicht ein c vergessen.

Ganz richtig wäre übrigens 2\cdot\ln(5), dann ist das so: $2\cdot\ln(5)$, weil der Logarithmus in einer Formel eine Funktion und kein Variablenname ist und deshalb aufrecht gesetzt wird. ─ joergwausw 12.07.2021 um 19:14

geändert :)
─ fix 12.07.2021 um 19:45

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