Hallo,

du sagst einmal ableiten und einmal integrieren. Was sollst du nun tun? 

Wenn ich es richtig verstehe, dann ist deine Funktion

$$ f(x) = 3\sqrt{x} $$ 

und du sollst diese intergieren, denn dazu passt dein Bild.

Nun gilt wie du schon richtig sagst

$$ 3\sqrt{x} = 3 \cdot x^{0,5} $$

Nun gilt beim ableiten einer Potenzfunktion

$$ \frac {\mathrm{d}x^n} {\mathrm{d}x} = n x^{n-1} $$

Diesen Gedanken wollen wir nun umkehren. Beim ableiten reduzieren wir den Exponenten um \( 1 \) und deshalb müssen wir beim integrieren den Exponenten um \( 1 \) erhöhen. 
Beim ableiten ziehen wir den Exponenten als Vorfaktor davor. Um das zu kompensieren, müssen wir beim integrieren durch den Exponenten (der Stammfunktion) teilen. Wir kommen auf die Formel

$$ \int x^n \mathrm{d}x = \frac 1 {n+1} x^{n+1} $$

Nun gucken wir uns deine Funktion an. Bedenke immer, das wir konstante Vorfaktoren vorziehen dürfen. Sowohl beim integrieren als auch beim differenzieren. 

Was ist dein \( n \)? Setze es in die Formel ein und du erhälst die obige Lösung.

Noch als Anmerkung. Die Produktregel egal ob beim ableiten oder aufleiten und die Quotientenregel beim ableiten nutzt du im Allgemeinen nur, wenn du ein Produkt (Quotienten) von mehreren nicht konstanten Funktionen hast. 
Du hast zwar ein Produkt, mit den Faktoren \( 3 \) und \( x^{0,5} \), aber die \( 3 \) ist eine konstante Funktion und kann deshalb einfach für die Ableitung/Stammfunktion übernommen werden. Man kann diese Regeln zwar nutzen, aber du machst dir damit unnötig Arbeit :)

Grüße Christian