Habe ich diese Funktion richtig umschrieben?

Aufrufe: 74     Aktiv: 13.02.2021 um 19:09
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Hallo liebe Community,
ich wollte den Nenner des Bruchs für eine Aufgabe umschreiben, weil ich des so übersichtlicher finde. Habe ich das richtig umgeformt?
Bzw. handelt sich sich weiterhin um die gleiche Funktion oder habe ich eine Regel, ein Vorzeichenwechsel etc. nicht beachtet?

Ganzrationale funktion Formelumformung
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Student, Punkte: 84

 
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umgeschrieben ist das richtig, was daran übersichtlicher/leichter sein soll entzieht sich mir aber :D. normalerweise packt man das Minus in die Mitte, damit es nicht übersehen wird und rationale Exponenten sind notwendig für ab- und aufleiten, zum Rechen tendiere ich zur Beibehaltung der Wurzel   ─   monimust 13.02.2021 um 12:49
Ohje ich hatte schon eine Hoffnung :D ... weil bei dieser Funktion handelt es sich um die 2. Ableitung einer Funktion. Ich voll dies gleich 0 setzen für die Berechnung des Wendepunkts.. mir fiel es irgendwie schwer, deswegen wollte ich es mal mit der umgeformten Funktion probieren.   ─   sann 13.02.2021 um 12:54
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Zur Berechnung der Nullstellen ist diese Umformung aber sehr sinnvoll. Da bist du auf dem richtigen Weg.   ─   anonym42 13.02.2021 um 12:57
Ein Lichtblick am Ende des Tunnels :-) Danke   ─   sann 13.02.2021 um 12:58
alles unter eine Wurzel packen kann ich ja noch nachvollziehen, aber in wiefern ist die Exponentenschreibweise nützlich?   ─   monimust 13.02.2021 um 13:33
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Wenn man den Term gleich 0 setzt und nach \( x\) auflösen muss, dann hat man nach Umformungen die Gleichung
\[ 1= \left( 2-x^2 \right)^{\frac 32} \]
übrig. Dann kann man beide Seiten hoch \( \frac 23\) nehmen.   ─   anonym42 13.02.2021 um 13:40
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das Rechnen mit Exponenten macht aber einigen (nach meiner Erfahrung) Schwierigkeiten (weil die Potenzregeln nicht präsent sind), während man bei Wurzeln eher weiß, wie man sie wegbekommt. Geht natürlich beides.
   ─   monimust 13.02.2021 um 13:46
Habs eben mal angewendet, sowie ich es mir vorgestellt habe. Habe aktuell für die Nullstellen -1 und 1 raus. Aber Sie haben recht, einmal habe ich mich verrechnet, als könnten Sie hellsehen :D
   ─   sann 13.02.2021 um 13:49
\(1\) und \(-1\) stimmen als Nullstellen.
@monimust da hast du recht. Nur in diesem Fall muss man diesen Umformungsschritt machen. Anderfalls kommt man auch nur auf die Gleichung
\[ 1= \sqrt {2-x^2}\left( 2-x^2 \right) .\]   ─   anonym42 13.02.2021 um 14:01
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Nicee, heute wird ein guter Tag, ich merk das schon :D   ─   sann 13.02.2021 um 14:41
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@anonym42: wenn ich die Klammer unter die Wurzel bringe, quadriere und anschließend die 3.Wurzel ziehe komme ich da genau so hin; alternativ gleich quadrieren und dann zusammenfassen zu ()³, sehe da kein "Muss", sind nur mehr Rechenschritte   ─   monimust 13.02.2021 um 15:23
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..naja.. das ist eigentlich genau das gleiche..
An irgendeinem Punkt muss man irgendwelche Potenzgesetze anwenden (zB. wenn man die Klammer unter die Wurzel bringen will, etc.)
Aber didaktisch mag es vielleicht sinnvoller sein, nicht mit rationalen Exponenten zu hantieren.   ─   anonym42 13.02.2021 um 19:09

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1 Antwort
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Hi.

Das ist richtig umgeformt.

Beachte aber, dass beide Terme nur für \( \vert x\vert <\sqrt{2}\) definiert sind.

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Student, Punkte: 775
 
das liegt daran, dass die 2 im Zähler ist? oder woran haben Sie das so schnell erkannt?   ─   sann 13.02.2021 um 12:55
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Genau. Du musst hier überprüfen, dass der Nenner nicht null wird (das ist genau dann der Fall, wenn \(x= \sqrt 2\) ist ).
Und man muss überprüfen, dass man nicht die Wurzel von negativen Zahlen nimmt. Das ist genau dann der Fall, wenn \( 2- x^2 < 0 \). Stellt man dies um, so erhält man, dass \( \vert x \vert \) nicht größer als \( \sqrt 2 \) seien darf.   ─   anonym42 13.02.2021 um 13:02
Vielen Dank, wieder etwas dazu gelernt. Ich wünschte ich hätte solch ein Verständnis für Mathematik :D   ─   sann 13.02.2021 um 13:05
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Gern geschehen. Das kommt mit der Zeit und mit der Übung ;)   ─   anonym42 13.02.2021 um 13:15

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