Konvexe Teilmengen

Erste Frage Aufrufe: 39     Aktiv: 30.05.2021 um 22:59

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Hallo Leute,
ich habe diese Aufgabe in einem Präsenzblatt und vorallem bei Nummer b) und c) komme ich zu keinem Vernünpftigen Ergebnis würde mich über Unterstützung freuen danke im vorraus:)
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Die b) ist eine einfache Rechnung. Setze einfach die Definition von \(f\) in die linke Seite ein, klammere \(A\) und \(b\) aus, und du bist bei der rechten Seite.
In der c) musst du zwei Implikationen zeigen. Kümmern wir uns zunächst um "\(H\) affiner Unterraum \(\Rightarrow\ H\) abgeschlossen unter affinen Linearkombinationen": Nach Definition eines affinen Unterraums ist \(H=a+U\) für ein \(a\in\mathbb R^n\) und einen linearen Unterraum \(U\). Seien \(x_i\in H\) gegeben, d.h. \(x_i-a\in U\). Rechne dann nach, dass \(\sum_{i=1}^r\lambda_ix_i-a\in H\). Hinweis: \(a=1a=\sum_{i=1}^r\lambda_ia\).

Für die Rückrichtung sei \(x\in H\) beliebig, du musst zeigen, dass \(U:=H-x\) ein linearer Unterraum ist. Es ist klar, dass \(0=x-x\in H-x\), also musst du noch zeigen, dass für \(v,w\in U\) und \(\lambda\in \mathbb R\) auch \(v+\lambda w\in U\) gilt. Konstruiere dazu aus \(v,w\) Elemente aus \(H\) und benutze die Abgeschlossenheit von \(H\) bzgl. affiner Linearkombinationen.
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