Abbildung surjektiv injektiv bijektiv

Aufrufe: 682     Aktiv: 24.04.2022 um 13:07

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Hallo zusammen, 

ich habe gehört, dass wenn der Definitionsbereich mehrdimensional ist und auf einen eindimensionalen Wertebereich abgebildet wird, dann kann diese Abbildung nie bijektiv sein, da sie nie surjektiv sein kann. 

also R^n -> R      ( n Element aus den natürlichen Zahlen größer 1)

so eine Art von Abbildung soll injektiv sein können, jedoch nie surjektiv

Zudem habe ich gehört, dass gleiche soll auch gelten, wenn der Definitonsbereich eindimensional und der Wertebereich mehrdimensional ist. Also auch hier soll es nie gelten, dass solche Abbildungen bijektiv sein können, da sie nie surjektiv sein können. 


im allgemeinen müsste somit gelten: wenn der Definitionsbereich und der Wertebereich unterschiedliche Dimensionen haben, so ist die Abbildung nie bijektiv, da sie nie surjektiv sein kann. Solche Abbildung könnten eventuell nur injektiv sein.

Meine Frage dazu lautet: stimmt das so ? Und wenn ja warum ist dies so ?

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2 Antworten
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Ja, das stimmt so, man sagt die Dimension eines Vektorraums ist eine Isomorphieinvariante. Das ganze folgt eigentlich unmittelbar aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen, kennst du diese?
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Nein die kenne ich nicht   ─   mbstudi 23.04.2022 um 20:16

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Okay, ist \(f: V \to W\) eine lineare Abbildung, dann gilt \(\dim V=\dim \mathrm{Bild}(f)+\dim \ker(f)\). Ist nun \(f\) surjektiv, so ist \(\mathrm{Bild}(f)=W\) und ist \(f\) injektiv, so ist \(\ker(f)=0\), schonmal sowas gesehen?   ─   mathejean 23.04.2022 um 20:18

Jetzt ja. Danke für deine Hilfe. Ich hätte jetzt noch eine Frage und zwar, wie steht das Urbild in Zusammenhang mit surjektivität und injektivität. Mir wurde gezeigt, dass man beim beweisen von surjektivität und injektivität das Urbild einer Funktion ausrechnet. Wenn das Urbild ein Punkt ist, dann ist es injektiv. Wenn das Urbild von einem Parameter abhängig ist, kann es nicht injektiv sein, da es eine gerade ist. Und wenn ich für die variable der Funktion alles einsetzen darf (und es somit keine Einschränkung gibt) dann ist die Funktion surjektiv. Ich habe es so gelernt, doch ich verstehe den Zusammenhang leider garnicht, vorallem nicht den Zusammenhang von Urbild und Funktion in Bezug auf surjektivität und injektivität   ─   mbstudi 23.04.2022 um 20:36

Injektiv heißt ja, dass es es zu einem Bild genau ein Urbild gibt, hängt das Urbild a,Lessings von einem (manchmal sogar mehreren) Parameter ab, so ist das Urbild offenbar nicht eindeutig, da jeder Punkt auf dieser Geraden, allgemein affinem Raum, auf das selbe Bild abgebildet (das ist sogar eine Äquivalenzrelation). Das mit dem surjektiv ist so aufjedenfall nicht vernünftig, aber die Idee ist wohl, dass du \(y=f(x)\) nach \(x\) umformst und man dann sieht ob es passt oder nicht. Aber es geht hier ja um lineare Abbildungen, hier ist alles viel einfacher, wenn man mit Matrizen arbeitet, hast du das schonmal gemacht.   ─   mathejean 23.04.2022 um 21:35

Lineare Abbildung von R nach R^n kann nicht surjektiv und lineare Abbildung von R^n nach R nicht injektiv nach sein und wieso sollte Abbildung nicht linear sein?   ─   mathejean 23.04.2022 um 22:00

Ich bin gerade etwas verwirrt. Ich meinte in meiner Frage eigentlich alle Abbildungen und nicht nur lineare. Habe ich es richtig verstanden, dass lineare Abbildungen von R^n nach R niemals injektiv sein können und lineare Abbildungen von R nach R^n niemals surjektiv sein können ? (Gehören affin lineare Abbildungen auch zu linearen Abbildungen ?) Und wie sieht es denn bei nichtlinearen Abbildungen aus ? Gibt es bei nichtlinearen Abbildungen auch soetwas in der Art?   ─   mbstudi 23.04.2022 um 23:53

Wie du sagst, bin ich von lineare Abbildungen ausgegangen, weil von Dimension geredet wurde und in diesem Kontext (Kategorie der Vektorräume) man nur solche betrachtet. Tatsächlich habe ich aber die Frage zu schnell gelesen und es gibt sicher surjektive Abbildung von R^n nach R. Solche surjektiven Abbildungen gehören praktisch zur Definition des (kartesischen) Produktes hinzu (das hat zest) sehr gut erklärt.   ─   mathejean 24.04.2022 um 09:17

Ich möchte jetzt nicht mit Kategorientheorie ausholen, zumal ich da absolut kein Experte bin und das nur am Rande meiner Algebra 2 Vorlesung hatte. Zur Funktionalanalysis kann ich ebenfalls nicht viel sagen, aber die Erklärung von zest schneidet glaube ich den Unterschied sehr gut an. Vielleicht schaust du dir mal die universelle Eigenschaft einer Basis an und dann siehst du vielleicht, warum man bei dem einen eher mit dem Exponenten vom Produkt und bei dem anderen mit einer viel stärkeren Struktur argumentiert. Es ist aber ein sehr großes Thema und ich glaube in vielen Disziplinen bekommt man das nicht so mit, weil es nicht so darauf ankommt.   ─   mathejean 24.04.2022 um 13:07

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