Abbildung surjektiv injektiv bijektiv

Aufrufe: 161     Aktiv: 24.04.2022 um 13:07

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Hallo zusammen, 

ich habe gehört, dass wenn der Definitionsbereich mehrdimensional ist und auf einen eindimensionalen Wertebereich abgebildet wird, dann kann diese Abbildung nie bijektiv sein, da sie nie surjektiv sein kann. 

also R^n -> R      ( n Element aus den natürlichen Zahlen größer 1)

so eine Art von Abbildung soll injektiv sein können, jedoch nie surjektiv

Zudem habe ich gehört, dass gleiche soll auch gelten, wenn der Definitonsbereich eindimensional und der Wertebereich mehrdimensional ist. Also auch hier soll es nie gelten, dass solche Abbildungen bijektiv sein können, da sie nie surjektiv sein können. 


im allgemeinen müsste somit gelten: wenn der Definitionsbereich und der Wertebereich unterschiedliche Dimensionen haben, so ist die Abbildung nie bijektiv, da sie nie surjektiv sein kann. Solche Abbildung könnten eventuell nur injektiv sein.

Meine Frage dazu lautet: stimmt das so ? Und wenn ja warum ist dies so ?

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Eigentlich wollte ich keine Antwort schreiben, aber hier gehen ein paar Dinge durcheinander.

Zunächst: Eine Abbildung $\mathbb R^n\to \mathbb R$ kann sehr wohl surjektiv sein. Jede Projektion $(x_1,...,x_n)\mapsto x_i$ ist surjektiv für $i= 1,...,n$. Also ist deine Annahme falsch. Dir scheint nicht klar zu sein, was surjektiv bedeutet.

Weiter: Eine Abbildung $\mathbb R\to \mathbb R^n$ kann injektiv sein (die Inklusionsabbildung bspw), und kann surjektiv sein. Eine solche Abbildung ist beispielsweise die raumfüllende Kurve (space filling curve), respektive Peano Kurve:

Vgl.: https://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

Die raumfüllende Kurve  bildet das Einheitsintervall $[0,1]$ bijektiv auf $[0,1]^2$ ab.

Darüberhinaus gibt es auch bijektive Abbildungen vom $\mathbb R^n\to \mathbb R$ respektive bijektive Abbildungen $\mathbb R\to \mathbb R^2$.

Siehe z.B. folgende Antwort von MJD auf M.SE: 

https://math.stackexchange.com/a/183383/543570

Jetzt kommt das Problem: Du schreibst von "Dimension" und meinst damit zwar einfach nur "den Exponenten", aber die Dimension eines Raums nimmt entweder Bezug auf die Vektorraumstruktur des $\mathbb R^n$ (deswegen hat mathejean plötzlich von linearen Abbildungen gesprochen) oder auf die Struktur des $\mathbb R^n$ als topologischen Raum.

Wie mathejean schrieb, ist die Dimension eine Isomorphie-invariante, d.h. zwei Vektorräume unterschiedlicher Dimension können nicht isomorph sein. Die Dimension ist aber auch eine Homöomorphismus-invariante, d.h. $\mathbb R^n$ und $\mathbb R^m$ können nicht homöomorph sein wenn $n\not=m$.

Die raumfüllende Kurve $[0,1]\to [0,1]^2$ kann zum Beispiel nicht stetig und bijektiv gleichzeitig sein. Sonst wäre sie ein Homöomorphismus.

Long story short: Es gibt (oder es gibt sie nicht) solche injektiven, surjektiven oder sogar bijektiven Abbildungen $\mathbb R^n\to \mathbb R$ respektive $\mathbb R\to \mathbb R^n$, die sind dann aber entweder (oder eben nicht) lineare Abbildungen (also strukturerhaltende Abbildungen zwischen Vektorräumen) oder sie sind stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen bzw. zwischen topologischen Mannigfaltigkeiten, oder sie sind weder stetig noch linear, dann sind das einfach nur Abbildungen zwischen Mengen (ohne zusätzliche Struktur).

Man muss also, wenn man ganz genau sein will, sich überlegen, in welcher Kategorie man diese Frage stellen möchte.

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Ja, das stimmt so, man sagt die Dimension eines Vektorraums ist eine Isomorphieinvariante. Das ganze folgt eigentlich unmittelbar aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen, kennst du diese?
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Nein die kenne ich nicht   ─   mbstudi 23.04.2022 um 20:16

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Okay, ist \(f: V \to W\) eine lineare Abbildung, dann gilt \(\dim V=\dim \mathrm{Bild}(f)+\dim \ker(f)\). Ist nun \(f\) surjektiv, so ist \(\mathrm{Bild}(f)=W\) und ist \(f\) injektiv, so ist \(\ker(f)=0\), schonmal sowas gesehen?   ─   mathejean 23.04.2022 um 20:18

Jetzt ja. Danke für deine Hilfe. Ich hätte jetzt noch eine Frage und zwar, wie steht das Urbild in Zusammenhang mit surjektivität und injektivität. Mir wurde gezeigt, dass man beim beweisen von surjektivität und injektivität das Urbild einer Funktion ausrechnet. Wenn das Urbild ein Punkt ist, dann ist es injektiv. Wenn das Urbild von einem Parameter abhängig ist, kann es nicht injektiv sein, da es eine gerade ist. Und wenn ich für die variable der Funktion alles einsetzen darf (und es somit keine Einschränkung gibt) dann ist die Funktion surjektiv. Ich habe es so gelernt, doch ich verstehe den Zusammenhang leider garnicht, vorallem nicht den Zusammenhang von Urbild und Funktion in Bezug auf surjektivität und injektivität   ─   mbstudi 23.04.2022 um 20:36

Injektiv heißt ja, dass es es zu einem Bild genau ein Urbild gibt, hängt das Urbild a,Lessings von einem (manchmal sogar mehreren) Parameter ab, so ist das Urbild offenbar nicht eindeutig, da jeder Punkt auf dieser Geraden, allgemein affinem Raum, auf das selbe Bild abgebildet (das ist sogar eine Äquivalenzrelation). Das mit dem surjektiv ist so aufjedenfall nicht vernünftig, aber die Idee ist wohl, dass du \(y=f(x)\) nach \(x\) umformst und man dann sieht ob es passt oder nicht. Aber es geht hier ja um lineare Abbildungen, hier ist alles viel einfacher, wenn man mit Matrizen arbeitet, hast du das schonmal gemacht.   ─   mathejean 23.04.2022 um 21:35

Wo steht denn, dass die Abb. linear sein soll? Für lin. Abb. ist diese Antwort richtig, aber allgemein stimmen die Aussagen in der Frage nicht so ohne weiteres. Insb. kann eine Abb. von R^n nach R durchaus surjektiv sein.   ─   mikn 23.04.2022 um 21:46

Lineare Abbildung von R nach R^n kann nicht surjektiv und lineare Abbildung von R^n nach R nicht injektiv nach sein und wieso sollte Abbildung nicht linear sein?   ─   mathejean 23.04.2022 um 22:00

@mathejean: Beziehst Du Dich auf meinen Kommentar? Dann lies doch nochmal genau. Und dass Du keine nichtlinearen Abbildungen kennst, nehm ich Dir nicht ab.   ─   mikn 23.04.2022 um 22:02

Ich bin gerade etwas verwirrt. Ich meinte in meiner Frage eigentlich alle Abbildungen und nicht nur lineare. Habe ich es richtig verstanden, dass lineare Abbildungen von R^n nach R niemals injektiv sein können und lineare Abbildungen von R nach R^n niemals surjektiv sein können ? (Gehören affin lineare Abbildungen auch zu linearen Abbildungen ?) Und wie sieht es denn bei nichtlinearen Abbildungen aus ? Gibt es bei nichtlinearen Abbildungen auch soetwas in der Art?   ─   mbstudi 23.04.2022 um 23:53

Affin-lineare Abbildungen sind nichtlinear.
Du findest leicht eine Abb. von R^n nach R, die surjektiv ist. Probier mal was aus.
  ─   mikn 23.04.2022 um 23:58

Wie du sagst, bin ich von lineare Abbildungen ausgegangen, weil von Dimension geredet wurde und in diesem Kontext (Kategorie der Vektorräume) man nur solche betrachtet. Tatsächlich habe ich aber die Frage zu schnell gelesen und es gibt sicher surjektive Abbildung von R^n nach R. Solche surjektiven Abbildungen gehören praktisch zur Definition des (kartesischen) Produktes hinzu (das hat zest) sehr gut erklärt.   ─   mathejean 24.04.2022 um 09:17

@mathejean Sorry, aber das wirklich Unsinn. Die gesamte Funktionanalysis arbeitet mit Vektorräumen und dem Dimensionsbegriff und jede Menge nichtlineare Abbildungen.   ─   mikn 24.04.2022 um 12:15

Ich möchte jetzt nicht mit Kategorientheorie ausholen, zumal ich da absolut kein Experte bin und das nur am Rande meiner Algebra 2 Vorlesung hatte. Zur Funktionalanalysis kann ich ebenfalls nicht viel sagen, aber die Erklärung von zest schneidet glaube ich den Unterschied sehr gut an. Vielleicht schaust du dir mal die universelle Eigenschaft einer Basis an und dann siehst du vielleicht, warum man bei dem einen eher mit dem Exponenten vom Produkt und bei dem anderen mit einer viel stärkeren Struktur argumentiert. Es ist aber ein sehr großes Thema und ich glaube in vielen Disziplinen bekommt man das nicht so mit, weil es nicht so darauf ankommt.   ─   mathejean 24.04.2022 um 13:07

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