Basis und Matrixdarstellung eines Faktorrings

Aufrufe: 65     Aktiv: 01.08.2021 um 19:18

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Hey, ich bereite mich momentan auf die Prüfung vor und versuche mich an paar Aufgaben von Altklausuren. Dabei bin ich auf diese Aufgabe gestoßen die mir total Kopfschmerzen bereitet. Ich weiß garnicht was ich machen soll oder wie die Aufgabe funktioniert. Könnte mir bitte einer helfen?

Der Faktorring \( V:=\mathbb{R}[X] /\left\langle X^{3}+X+1\right\rangle \) ist mit der gewöhnlichen Addition und der durch
\(\mathbb{R} \times V \rightarrow V,(r, \bar{f}) \mapsto \bar{r} \cdot \bar{f}\)
(wobei \( f \in \mathbb{R}[X] \) und \( \bar{f} \) bzw. \( \bar{r} \) die Äquivalenzklasse von \( f \) bzw. \( r \) in \( V \) bezeichne) definierten Skalarmultiplikation ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum. (Sie brauchen dies nicht nachzuweisen.)
(a) Zeigen Sie, dass \( B:=\left(\overline{1}, \bar{X}, \bar{X}^{2}\right) \) eine \( \mathbb{R} \) -Basis von \( V \) ist.
(b) Stellen Sie \( \bar{f} \cdot \bar{g} \) als Linearkombination der Basisvektoren in \( B \) dar, wobei \( f=X^{10}+X^{8}+ \) \( X^{7}+X+1 \) und \( g=2 X^{2}+3 X+2 \)
(c) Betrachten Sie die Abbildung
\(\psi: V \rightarrow V, \bar{f} \mapsto \bar{X} \cdot \bar{f}\)
Sie dürfen (ohne Beweis) annehmen, dass die Abbildung wohldefiniert und \( \mathbb{R} \) -linear ist. Berechnen Sie die Matrixdarstellung \( M_{B, B}(\psi) \) von \( \psi \).
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