Hey,

Wikipedia hat das ganz gut thematisiert. Du musst dir die verschiedenen Symmetrieebenen anschauen und dann mithilfe des Cosinus den Winkel berechnen. Der Schnittwinkel, den du berechnen musst, ist auch in jeden Tetraeder gleich und berechnet sich immer nach der Formel. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder#Winkel

Bei Fragen gerne melden!

Unabhängig von der Vektorgeometrie kann man mithilfe des eingezeichneten Dreiecks (2 rote Seitenhöhen und gestrichelte blaue Seitenkante) den Winkel berechnen. Zum Beispiel auf folgendem Weg: 

Dieses Dreieck ist gleichschenklig und lässt sich geschickt zu zwei rechtwinkligen Dreiecken halbieren. Der gesuchte Winkel (von den roten Kanten eingeschlossen) wird dabei auch halbiert.

Es sei die Kantenlänge des Tetraeders a. Dann ist die Seitenhöhe (rot)= \( \frac {1}{2}a \sqrt 3\). Diese Seitenhöhe ist in besagten rechtwinkligen Dreiecken die Hypotenuse. Die halbe Seitenkante (gestrichelt) ist eine Kathete (a/2). 

Mit Sinus Alpha = Gegenkathete/ Hypotenuse lässt sich der halbe gesuchte Winkel berechnen. Die Variable a kürzt sich dabei raus. :-)