Siehe meine Antwort, auch Deine Nachfragen und deren Beantwortung dazu, zu
https://www.mathefragen.de/frage/q/80e34685f9/konvergenzreihen-quotientenkriterium-ergibt-e/
Meine Antwort beginnt mit "als allererstes....".
Ich find's schade, wenn man sich Mühe gibt die Dinge zu erklären, und danach ist der Lernstand des Fragenden unverändert.
Lehrer/Professor, Punkte: 39.83K
Ziel: \(\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{k}{x})^k = e^x \)
\(\frac {k} {k+2018} = 1+X\)
\(X = 1-\frac {k} {k+2018} = \frac {(k+2018) *(k+2018)} {(k+2018)*(k+2018)} - \frac {k * (k+2018)} {(k+2018) * (k+2018)} (Hauptnenner)\)
Ist der Ansatz korrekt? Ginge es dann weiter mit Ausmultiplizieren und verrechnen? Denn kürzen würde ja alles rückgängig machen. ─ dietergletz 15.07.2021 um 20:52
\(X = 1-\frac {k} {k+2018} = \frac {(k+2018)} {(k+2018)} - \frac {k} {k+2018} (Hauptnenner) = \frac {k+2018 - k} {k+2018} = \frac {2018} {k+2018}\)
Wenn vorher galt \(\frac {k} {k+2018} = 1+X\) und \(X = \frac {2018} {k+2018}\), geht dann einfach \(\frac {k} {k+2018} = 1+ \frac {2018} {k+2018}\ \), oder habe ich das nicht korrekt ausgerechnet oder umgestellt? ─ dietergletz 15.07.2021 um 21:17
Es galt doch \(\frac {k} {k+2018} = 1+X\)
Wenn ich dann umstelle, gilt \( X=\frac {k} {k+2018} -1\). Ist das der Fehler gewesen? ─ dietergletz 15.07.2021 um 23:16
Ich verstehe dass es offensichtlich erscheinen mag, aber ich steige nicht direkt dahinter. Ich würde mir damit nicht so viele Stunden um die Ohren schlagen, wenn ich es nicht versuchen würde.
Das war mein Versuch:
\(\frac {k} {k+2018} = 1+irgendwas\) \(\big \vert\) -1
\(irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1\). Deshalb verstehe ich nicht, wieso dann gelten kann \(irgendwas = 1- \frac {k} {k+2018}\). Das dreht doch das Vorzeichen um. Muss dann nicht folgendes gelten?
\(1 + irgendwas = \frac {k} {k+2018}\) \(\big \vert -irgendwas -1\)
\(-irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1\) -> \(irgendwas = -(\frac {k} {k+2018}) + 1\)
______________________
Dann hätte ich ja mit \(1- \frac {k} {k+2018}\) gar nicht mein \(irgendwas\), sondern mein \(-irgendwas\) berechnet und muss das Vorzeichen von noch umdrehen? \(-\frac {2018} {k+2018}\) ─ dietergletz 16.07.2021 um 00:45
\( \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\)
Ziel: \(\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{k}{x})^k = e^x \), mit \(\lim\limits_{x \to \infty} (\frac{k}{x}) \to 0\) (diese Vorraussetzung habe ich so vom Prof in der Vorlesung verstanden)
Umformung: -> \((\frac {k} {k+2018})^k = (1+X)^k\)
\(X = \frac {k} {k+2018} -1 = \frac {k} {k+2018} - \frac {(k+2018)} {(k+2018)} = \frac {k-(k+2018)} {k+2018} = \frac {k-k-2018} {k+2018} = \frac {-2018} {k+2018} \)
Insgesamt dann (falls ich das so schreiben kann..):
\(a_k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018} * (1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018} = \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018}}_{{e^{-2018}}} * \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018}}_{{1^{-2018}}} = e^{-2018}\)
Also gibt es für \(\lim\limits_{k \to \infty} a_k \) keinen Grenzwert, und deshalb ist \(\sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\) nicht konvergent? ─ dietergletz 17.07.2021 um 12:58
Wenn ich zunächst a_n untersuchen soll, bevor ich den Grenzwert berechne, gehe ich dann hier auch von lim(1+(1/x))^k = e^x aus? Und vielleicht hilft mir ein Ansatz, wie ich mir denn sicher sein kann, an was ich mich für diesen ersten Schritt orientieren soll.
Ist das immer dann der Fall, wenn es einen Bruch mit Potenz geht? Es ist für mich nachvollziehbar, dass Profis blind den ersten Schritt erkennen können. Ich selbst kann allerdings nicht gleich nachvollziehen, wie und wann ich eben zu e^x umformen soll und kann.
Mein Fokus in der vorigen Frage war tatsächlich diese Rechenschritt mit der Nulladdition, der mich mehrere Stunden gekostet hat, weil es da an Grundwissen mangelt. Hatte in der Schule auch den Dreisatz - manchmal gibt es unkontrolliert Lücken im Grundwissen. ─ dietergletz 14.07.2021 um 13:25