Question

Konvergenzreihen

Aufrufe: 601 Aktiv: 17.07.2021 um 19:26

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\[ \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\]

Für die Konvergenzprüfung ist mein erster Ansatz mit dem Quotientenkriterium den Grenzwert zu bestimmen. Hierfür bin ich wie folgt vorgegangen:

$\lim\limits_{x \to \infty} |\frac{\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+2019)^{k+1}}}{\frac{{(k)^{k}}}{{(k+2018)^{k}}}}|$ =

$\lim\limits_{k \to \infty}\ \frac {{(k+1)}^{k+1}} {{(k+2019)}^{k+1}} * \frac {{(k+2018)}^k} {k^k}$ und habe dann direkt Probleme beim kürzen. Ist der Ansatz verkehrt?

Vielen Dank vorab und mit freundlichem Gruß

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gefragt 14.07.2021 um 00:48

dietergletz
Punkte: 46

christian_strack hat 14.07.2021 um 08:53 bearbeitet

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2 Antworten

0

Hallo,

ja hier zu kürzen dürfte sich als schwierig herausstellen. Bei Ausdrücken mit einem $k$ im Exponenten bietet sich häufig das Wurzelkriterium an. Versuch es vielleicht mal damit.

Grüße Christian

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geantwortet 14.07.2021 um 08:54

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

1

Der Grenzwert des Wurzelkriteriums ist 1, das sieht man eigentlich direkt und somit macht es keinen Sinn das Wurzelkriterium zu verwenden ─ aruether 14.07.2021 um 09:09

Ja da hast du absolut recht. Da habe ich zu schnell geantwortet. Danke :) ─ christian_strack 14.07.2021 um 10:55

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mikn · Accepted Answer · 2021-07-14T10:50:48Z

2

Die Frage verwundert mich sehr. Hast Du nichts aus der Antwort auf Deine vorige Frage gelernt? Die hier geht genauso.
Siehe meine Antwort, auch Deine Nachfragen und deren Beantwortung dazu, zu
https://www.mathefragen.de/frage/q/80e34685f9/konvergenzreihen-quotientenkriterium-ergibt-e/
Meine Antwort beginnt mit "als allererstes....".
Ich find's schade, wenn man sich Mühe gibt die Dinge zu erklären, und danach ist der Lernstand des Fragenden unverändert.

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geantwortet 14.07.2021 um 10:50

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.88K

1

Der Lernstand ist bei mir halt ganz am Anfang, nur mit nicht ausreichend Möglichkeit von 0 anzufangen. Ich gebe mir ja Mühe, es trotzdem zu versuchen, und es nicht einfach zu lassen. Das sollte keine persönliche Sache sein.

Wenn ich zunächst a_n untersuchen soll, bevor ich den Grenzwert berechne, gehe ich dann hier auch von lim(1+(1/x))^k = e^x aus? Und vielleicht hilft mir ein Ansatz, wie ich mir denn sicher sein kann, an was ich mich für diesen ersten Schritt orientieren soll.

Ist das immer dann der Fall, wenn es einen Bruch mit Potenz geht? Es ist für mich nachvollziehbar, dass Profis blind den ersten Schritt erkennen können. Ich selbst kann allerdings nicht gleich nachvollziehen, wie und wann ich eben zu e^x umformen soll und kann.

Mein Fokus in der vorigen Frage war tatsächlich diese Rechenschritt mit der Nulladdition, der mich mehrere Stunden gekostet hat, weil es da an Grundwissen mangelt. Hatte in der Schule auch den Dreisatz - manchmal gibt es unkontrolliert Lücken im Grundwissen.

Der Lernstand ist bei mir halt ganz am Anfang, nur mit nicht ausreichend Möglichkeit von 0 anzufangen. Ich gebe mir ja Mühe, es trotzdem zu versuchen, und es nicht einfach zu lassen. Das sollte keine persönliche Sache sein.

Wenn ich zunächst a_n untersuchen soll, bevor ich den Grenzwert berechne, gehe ich dann hier auch von lim(1+(1/x))^k = e^x aus? Und vielleicht hilft mir ein Ansatz, wie ich mir denn sicher sein kann, an was ich mich für diesen ersten Schritt orientieren soll.

Ist das immer dann der Fall, wenn es einen Bruch mit Potenz geht? Es ist für mich nachvollziehbar, dass Profis blind den ersten Schritt erkennen können. Ich selbst kann allerdings nicht gleich nachvollziehen, wie und wann ich eben zu e^x umformen soll und kann.

Mein Fokus in der vorigen Frage war tatsächlich diese Rechenschritt mit der Nulladdition, der mich mehrere Stunden gekostet hat, weil es da an Grundwissen mangelt. Hatte in der Schule auch den Dreisatz - manchmal gibt es unkontrolliert Lücken im Grundwissen.

─ dietergletz 14.07.2021 um 13:25

\[ \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\]
Ziel: $\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{k}{x})^k = e^x $

$\frac {k} {k+2018} = 1+X$

$X = 1-\frac {k} {k+2018} = \frac {(k+2018) *(k+2018)} {(k+2018)*(k+2018)} - \frac {k * (k+2018)} {(k+2018) * (k+2018)} (Hauptnenner)$

Ist der Ansatz korrekt? Ginge es dann weiter mit Ausmultiplizieren und verrechnen? Denn kürzen würde ja alles rückgängig machen. ─ dietergletz 15.07.2021 um 20:52

Das hieße dann, dass Faktorisieren vom Nenner & Zähler nicht nötig ist, da $1= \frac {(k+2018)} {(k+2018)} $ und die Nenner schon gleich sind? Dann erhalte ich nämlich

$X = 1-\frac {k} {k+2018} = \frac {(k+2018)} {(k+2018)} - \frac {k} {k+2018} (Hauptnenner) = \frac {k+2018 - k} {k+2018} = \frac {2018} {k+2018}$

Wenn vorher galt $\frac {k} {k+2018} = 1+X$ und $X = \frac {2018} {k+2018}$, geht dann einfach $\frac {k} {k+2018} = 1+ \frac {2018} {k+2018}\ $, oder habe ich das nicht korrekt ausgerechnet oder umgestellt? ─ dietergletz 15.07.2021 um 21:17

Kann es an einem Vorzeichen liegen?

Es galt doch $\frac {k} {k+2018} = 1+X$

Wenn ich dann umstelle, gilt $ X=\frac {k} {k+2018} -1$. Ist das der Fehler gewesen? ─ dietergletz 15.07.2021 um 23:16

Okay, ich scheine da wegen der Vorgabe $\frac {k} {k+2018} = 1+irgendwas$ durcheinandergekommen zu sein... (das entspricht doch Bruch = 1 + X bzw. X+1 = Bruch, oder?)

Ich verstehe dass es offensichtlich erscheinen mag, aber ich steige nicht direkt dahinter. Ich würde mir damit nicht so viele Stunden um die Ohren schlagen, wenn ich es nicht versuchen würde.

Das war mein Versuch:
$\frac {k} {k+2018} = 1+irgendwas$ $\big \vert$ -1

$irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1$. Deshalb verstehe ich nicht, wieso dann gelten kann $irgendwas = 1- \frac {k} {k+2018}$. Das dreht doch das Vorzeichen um. Muss dann nicht folgendes gelten?

$1 + irgendwas = \frac {k} {k+2018}$ $\big \vert -irgendwas -1$

$-irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1$ -> $irgendwas = -(\frac {k} {k+2018}) + 1$
______________________

Dann hätte ich ja mit $1- \frac {k} {k+2018}$ gar nicht mein $irgendwas$, sondern mein $-irgendwas$ berechnet und muss das Vorzeichen von noch umdrehen? $-\frac {2018} {k+2018}$

Okay, ich scheine da wegen der Vorgabe $\frac {k} {k+2018} = 1+irgendwas$  durcheinandergekommen zu sein... (das entspricht doch Bruch = 1 + X bzw. X+1 = Bruch, oder?)

Ich verstehe dass es offensichtlich erscheinen mag, aber ich steige nicht direkt dahinter. Ich würde mir damit nicht so viele Stunden um die Ohren schlagen, wenn ich es nicht versuchen würde.

Das war mein Versuch:
$\frac {k} {k+2018} = 1+irgendwas$ $\big \vert$  -1

$irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1$. Deshalb verstehe ich nicht, wieso dann gelten kann $irgendwas = 1- \frac {k} {k+2018}$. Das dreht doch das Vorzeichen um. Muss dann nicht folgendes gelten?

$1 + irgendwas =  \frac {k} {k+2018}$  $\big \vert -irgendwas -1$

$-irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1$ -> $irgendwas = -(\frac {k} {k+2018}) + 1$
______________________

Dann hätte ich ja mit $1- \frac {k} {k+2018}$ gar nicht mein $irgendwas$, sondern mein $-irgendwas$ berechnet und muss das Vorzeichen von noch umdrehen? $-\frac {2018} {k+2018}$

─ dietergletz 16.07.2021 um 00:45

Hatte noch auf eine Antwort gehofft... ─ dietergletz 16.07.2021 um 21:02

Es könnte sein dass ich das jetzt verstanden habe und hoffe dass es jetzt richtig ist... andernfalls sollte ich es vielleicht einfach aufgeben, hab fast Gefühl hier zu nerven..

$ \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k$

Ziel: $\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{k}{x})^k = e^x $, mit $\lim\limits_{x \to \infty} (\frac{k}{x}) \to 0$ (diese Vorraussetzung habe ich so vom Prof in der Vorlesung verstanden)

Umformung: -> $(\frac {k} {k+2018})^k = (1+X)^k$

$X = \frac {k} {k+2018} -1 = \frac {k} {k+2018} - \frac {(k+2018)} {(k+2018)} = \frac {k-(k+2018)} {k+2018} = \frac {k-k-2018} {k+2018} = \frac {-2018} {k+2018} $

Insgesamt dann (falls ich das so schreiben kann..):

$a_k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018} * (1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018} = \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018}}_{{e^{-2018}}} * \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018}}_{{1^{-2018}}} = e^{-2018}$

Also gibt es für $\lim\limits_{k \to \infty} a_k $ keinen Grenzwert, und deshalb ist $\sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k$ nicht konvergent?

Es könnte sein dass ich das jetzt verstanden habe und hoffe dass es jetzt richtig ist... andernfalls sollte ich es vielleicht einfach aufgeben, hab fast Gefühl hier zu nerven..

$ \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k$

Ziel: $\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{k}{x})^k = e^x $, mit $\lim\limits_{x \to \infty} (\frac{k}{x}) \to 0$ (diese Vorraussetzung habe ich so vom Prof in der Vorlesung verstanden)

Umformung: -> $(\frac {k} {k+2018})^k = (1+X)^k$

$X = \frac {k} {k+2018} -1 = \frac {k} {k+2018} - \frac {(k+2018)} {(k+2018)} = \frac {k-(k+2018)} {k+2018} = \frac {k-k-2018} {k+2018} = \frac {-2018} {k+2018} $

Insgesamt dann (falls ich das so schreiben kann..):

$a_k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018} * (1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018}  = \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018}}_{{e^{-2018}}} * \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018}}_{{1^{-2018}}} = e^{-2018}$

Also gibt es für $\lim\limits_{k \to \infty} a_k $ keinen Grenzwert, und deshalb ist $\sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k$ nicht konvergent?

─ dietergletz 17.07.2021 um 12:58

Okay, das klingt sinnvoll. Vielen Dank für die Mühe und die Geduld, habe es jetzt verstanden! ─ dietergletz 17.07.2021 um 15:25

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.