Konvergenzreihen

Aufrufe: 151     Aktiv: 17.07.2021 um 19:26

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\[ \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\]

Für die Konvergenzprüfung ist mein erster Ansatz mit dem Quotientenkriterium den Grenzwert zu bestimmen. Hierfür bin ich wie folgt vorgegangen:

\(\lim\limits_{x \to \infty} |\frac{\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+2019)^{k+1}}}{\frac{{(k)^{k}}}{{(k+2018)^{k}}}}|\) = 

\(\lim\limits_{k \to \infty}\ \frac {{(k+1)}^{k+1}} {{(k+2019)}^{k+1}} * \frac {{(k+2018)}^k} {k^k}\) und habe dann direkt Probleme beim kürzen. Ist der Ansatz verkehrt?

Vielen Dank vorab und mit freundlichem Gruß
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Punkte: 46

christian_strack hat 14.07.2021 um 08:53 bearbeitet

 
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Die Frage verwundert mich sehr. Hast Du nichts aus der Antwort auf Deine vorige Frage gelernt? Die hier geht genauso.
Siehe meine Antwort, auch Deine Nachfragen und deren Beantwortung dazu, zu
https://www.mathefragen.de/frage/q/80e34685f9/konvergenzreihen-quotientenkriterium-ergibt-e/
Meine Antwort beginnt mit "als allererstes....".
Ich find's schade, wenn man sich Mühe gibt die Dinge zu erklären, und danach ist der Lernstand des Fragenden unverändert.
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Der Lernstand ist bei mir halt ganz am Anfang, nur mit nicht ausreichend Möglichkeit von 0 anzufangen. Ich gebe mir ja Mühe, es trotzdem zu versuchen, und es nicht einfach zu lassen. Das sollte keine persönliche Sache sein.

Wenn ich zunächst a_n untersuchen soll, bevor ich den Grenzwert berechne, gehe ich dann hier auch von lim(1+(1/x))^k = e^x aus? Und vielleicht hilft mir ein Ansatz, wie ich mir denn sicher sein kann, an was ich mich für diesen ersten Schritt orientieren soll.

Ist das immer dann der Fall, wenn es einen Bruch mit Potenz geht? Es ist für mich nachvollziehbar, dass Profis blind den ersten Schritt erkennen können. Ich selbst kann allerdings nicht gleich nachvollziehen, wie und wann ich eben zu e^x umformen soll und kann.

Mein Fokus in der vorigen Frage war tatsächlich diese Rechenschritt mit der Nulladdition, der mich mehrere Stunden gekostet hat, weil es da an Grundwissen mangelt. Hatte in der Schule auch den Dreisatz - manchmal gibt es unkontrolliert Lücken im Grundwissen.
  ─   dietergletz 14.07.2021 um 13:25

Gehe die Antwort zu der vorigen Frage durch, nur ersetze die damalige Folge durch die aktuelle hier. Die Nulladdition ist was für Fortgeschrittene, neue Regeln brauchst Du hier (und auch vorher) nicht. ich hatte Dir erklärt, wie es einfach geht (Stichwort: 1+irgendwas).
Vor allem hatte ich empfohlen NICHT als erstes mit dem Q-Krit. loszulegen. Insb. nachdem Du (verständlicherweise) damit schon einmal gescheitert bist. Da verstehe ich nicht, wieso Du es trotzdem wieder tust. Und das hat nichts mit Mathematik zu tun.
Also: gehe nach dem Muster der vorigen Antwort vor, in jedem Detail.
  ─   mikn 14.07.2021 um 13:46

\[ \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\]
Ziel: \(\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{k}{x})^k = e^x \)


\(\frac {k} {k+2018} = 1+X\)

\(X = 1-\frac {k} {k+2018} = \frac {(k+2018) *(k+2018)} {(k+2018)*(k+2018)} - \frac {k * (k+2018)} {(k+2018) * (k+2018)} (Hauptnenner)\)

Ist der Ansatz korrekt? Ginge es dann weiter mit Ausmultiplizieren und verrechnen? Denn kürzen würde ja alles rückgängig machen.
  ─   dietergletz 15.07.2021 um 20:52

Der Ansatz ist richtig, aber der Hauptnenner ist k+2018, nicht das Quadrat davon. Und dann rechne das X aus.   ─   mikn 15.07.2021 um 21:03

Das hieße dann, dass Faktorisieren vom Nenner & Zähler nicht nötig ist, da \(1= \frac {(k+2018)} {(k+2018)} \) und die Nenner schon gleich sind? Dann erhalte ich nämlich

\(X = 1-\frac {k} {k+2018} = \frac {(k+2018)} {(k+2018)} - \frac {k} {k+2018} (Hauptnenner) = \frac {k+2018 - k} {k+2018} = \frac {2018} {k+2018}\)

Wenn vorher galt \(\frac {k} {k+2018} = 1+X\) und \(X = \frac {2018} {k+2018}\), geht dann einfach \(\frac {k} {k+2018} = 1+ \frac {2018} {k+2018}\ \), oder habe ich das nicht korrekt ausgerechnet oder umgestellt?
  ─   dietergletz 15.07.2021 um 21:17

Die ersten drei Zeilen sind genau richtig. Was soll das "wenn vorher galt"? Das galt aber nicht vorher. Jedenfalls ist das dann nicht dasselbe X wie vorher.
Streich die 4. und 5. Zeile einfach und mach weiter im Programm.
  ─   mikn 15.07.2021 um 22:06

Kann es an einem Vorzeichen liegen?

Es galt doch \(\frac {k} {k+2018} = 1+X\)

Wenn ich dann umstelle, gilt \( X=\frac {k} {k+2018} -1\). Ist das der Fehler gewesen?
  ─   dietergletz 15.07.2021 um 23:16

Es galt NICHT X+1=Bruch. Es galt X=1-Bruch, das ist was anderes. Und es liefert eben ein anderes X, das richtige X mit falschem Vorzeichen. Achte sorgfältig auf die Gleichungen.
  ─   mikn 15.07.2021 um 23:31

Okay, ich scheine da wegen der Vorgabe \(\frac {k} {k+2018} = 1+irgendwas\) durcheinandergekommen zu sein... (das entspricht doch Bruch = 1 + X bzw. X+1 = Bruch, oder?)

Ich verstehe dass es offensichtlich erscheinen mag, aber ich steige nicht direkt dahinter. Ich würde mir damit nicht so viele Stunden um die Ohren schlagen, wenn ich es nicht versuchen würde.

Das war mein Versuch:
\(\frac {k} {k+2018} = 1+irgendwas\) \(\big \vert\) -1

\(irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1\). Deshalb verstehe ich nicht, wieso dann gelten kann \(irgendwas = 1- \frac {k} {k+2018}\). Das dreht doch das Vorzeichen um. Muss dann nicht folgendes gelten?

\(1 + irgendwas = \frac {k} {k+2018}\) \(\big \vert -irgendwas -1\)

\(-irgendwas = \frac {k} {k+2018} -1\) -> \(irgendwas = -(\frac {k} {k+2018}) + 1\)
______________________

Dann hätte ich ja mit \(1- \frac {k} {k+2018}\) gar nicht mein \(irgendwas\), sondern mein \(-irgendwas\) berechnet und muss das Vorzeichen von noch umdrehen? \(-\frac {2018} {k+2018}\)
  ─   dietergletz 16.07.2021 um 00:45

Hatte noch auf eine Antwort gehofft...   ─   dietergletz 16.07.2021 um 21:02

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Ich hab die vorige Antwort nicht angezeigt bekommen.
Sorry, ich hab gleich am Anfang nicht aufgepasst und einen Fehler übersehen.
Unter: "Ziel: ...." steht "Bruch = 1+X", was richtig ist. In der Zeile dadrunter steht "X=1-Bruch", was falsch ist und ich bisher übersehen habe. Ich hab mich darauf bezogen, Deshalb hab ich gesagt, es galt "NICHT X+1=Bruch".
Also, hier jetzt das richtige:
X+1=Bruch, also \(X=Bruch-1=\frac{-2018}{k+2018}\). Hoffe damit ist diese Sache geklärt.

  ─   mikn 16.07.2021 um 21:23

Es könnte sein dass ich das jetzt verstanden habe und hoffe dass es jetzt richtig ist... andernfalls sollte ich es vielleicht einfach aufgeben, hab fast Gefühl hier zu nerven..

\( \sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\)

Ziel: \(\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{k}{x})^k = e^x \), mit \(\lim\limits_{x \to \infty} (\frac{k}{x}) \to 0\) (diese Vorraussetzung habe ich so vom Prof in der Vorlesung verstanden)

Umformung: -> \((\frac {k} {k+2018})^k = (1+X)^k\)

\(X = \frac {k} {k+2018} -1 = \frac {k} {k+2018} - \frac {(k+2018)} {(k+2018)} = \frac {k-(k+2018)} {k+2018} = \frac {k-k-2018} {k+2018} = \frac {-2018} {k+2018} \)

Insgesamt dann (falls ich das so schreiben kann..):

\(a_k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^k = (1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018} * (1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018} = \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{k+2018}}_{{e^{-2018}}} * \underbrace{(1+\frac {-2018} {k+2018})^{-2018}}_{{1^{-2018}}} = e^{-2018}\)


Also gibt es für \(\lim\limits_{k \to \infty} a_k \) keinen Grenzwert, und deshalb ist \(\sum_{k=1}^\infty (\frac {k} {k+2018})^k\) nicht konvergent?
  ─   dietergletz 17.07.2021 um 12:58

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Sehr gut. Allerdings ist unten in den geschweiften Klammern der Grenzwert notiert, da sollte also stehen \(\underbrace{\ldots}_{\to e^{-2018}}\), analog beim anderen Faktor. Und analog zur vorigen Frage (bitte nachlesen!): \(\lim a_k = e^{-2018}\), natürlich existiert der Grenzwert von \(a_k\), haben wir ja gerade ausgerechnet, er ist aber nicht 0, daher konvergiert die Reihe nicht.   ─   mikn 17.07.2021 um 13:23

Okay, das klingt sinnvoll. Vielen Dank für die Mühe und die Geduld, habe es jetzt verstanden!   ─   dietergletz 17.07.2021 um 15:25

Gerne und nochmals tschuldigung, dass ich den Vorzeichenfehler auch nicht sofort, sondern an der falschen Stelle vermutet habe.   ─   mikn 17.07.2021 um 19:26

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Hallo,

ja hier zu kürzen dürfte sich als schwierig herausstellen. Bei Ausdrücken mit einem $k$ im Exponenten bietet sich häufig das Wurzelkriterium an. Versuch es vielleicht mal damit.

Grüße Christian
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Der Grenzwert des Wurzelkriteriums ist 1, das sieht man eigentlich direkt und somit macht es keinen Sinn das Wurzelkriterium zu verwenden   ─   aruether 14.07.2021 um 09:09

Ja da hast du absolut recht. Da habe ich zu schnell geantwortet. Danke :)   ─   christian_strack 14.07.2021 um 10:55

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