Moin zusammen, habe folgende Aufgabe gelöst:



Meine Lösung:

Definiere $h(x) = f(x) - g(x)$. $h(x)$ ist stetig weil $f(x),g(x)$ stetig sind.
$g(x)$ ist beschränkt d.h. $-C \leq g(x) \leq C$ wobei $C>0$.
Weil $f$ surjektiv ist $\exists x_1,x_2 : f(x_1) = -C\ \land f(x_2)=C$  (o.B.d.A $x_1 \leq x_2$).
Auswerten von $h$ an $x_1$ und $x_2$:
$x_1$: $h(x_1) = f(x_1) - g(x_1)= -C - g(x_1) \leq -C+C=0$ (weil $-g(x_1) \leq C$ )
$\implies h(x_1) \leq 0$ 
$x_2$: $h(x_2)=f(x_2)-g(x_2)=C-g(x_2) \geq C-C=0$ (weil $-g(x_2) \geq C$ )
$\implies h(x_2) \geq 0$ 
Daraus folgt, dass $h(x_1)$ und $h(x_2)$ unterschiedliche Vorzeichen haben oder beide $0$ sind.
Mit dem ZWS folgt jetzt $\exists y_0\in [h(x_1),h(x_2)]$ mit $y_0=0=h(x_0)$ sodass $x_0\in [x_1,x_2]$.
$\implies h(x_0) = 0 = f(x_0) - g(x_0) \implies f(x_0) = g(x_0)$
$\blacksquare$

Leider habe ich keine Lösungen dazu. Stimmt der Lösungsweg ansatzweise?