Norm einer linearen Abbildung berechnen

Aufrufe: 102     Aktiv: 22.04.2021 um 16:41

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Bie der c) bin ich mir absolut unsicher wie ich vorangehen soll. Die Norm einer linearen Abbildung lässt sich ja über das supremum ||x||=1 berechnen. Dennoch fehlt mir hier überhaupt der Ansatz. Kann einer weiterhelfen bitte?
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Ich behaupte, dass die Norm \(1\) ist. Um das zu zeigen, muss ich ein \(f\in V\) mit \(|\!|f|\!|=1\) und \(|\!|T(f)|\!|=1\) angeben (bzw. wenn das nicht möglich ist, eine Folge von Funktionen, deren Norm gegen 1 konvergiert) und zeigen, dass \(|\!|T(g)|\!|\leq 1\) für alle \(g\in V\) mit \(|\!|g|\!|=1\). Der erste Teil ist einfach, nimm z.B. $$f:[0,2]\to\mathbb R,\quad x\mapsto\begin{cases}0,&x<1\\2x-2,&x\geq1\end{cases}$$ Du kannst nachrechnen, dass \(f\) stetig ist und die Normbedingungen erfüllt. Für den zweiten Teil: Sei \(g\in V\) mit \(|\!|g|\!|=1\). Dann ist $$|\!|T(g)|\!|=\int_0^1|g(x+1)|\,dx=\int_1^2|g(x)|\,dx\leq\int_0^2|g(x)|\,dx=|\!|g|\!|=1,$$ was zu zeigen war.
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Okey vielen Dank! Also muss ich um die Norm einer linearen Abbildung zu berechnen immer ||f|| = 1 und ||T(f)|| = 1 zeigen? Warum ist bei g auch nicht ||T(g)|| = 1 sondern <=1?   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 15:40

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Durch die Angabe von \(f\) habe ich \(|\!|T|\!|\geq 1\) gezeigt, denn wenn es ein normiertes \(f\) gibt, sodass \(T(f)\) Norm 1 hat, dann ist das Supremum über all solche Funktionen mindestens so groß. Dann muss man noch zeigen, dass \(|\!|T|\!|\leq 1\), indem man für eine beliebige normierte Funktion \(g\) in \(V\) zeigt, dass die Norm von \(T(g)\) kleiner gleich 1 ist, dann ist sicher auch das Supremum über all diese Funktionen kleiner gleich 1. Aus \(\leq\) und \(\geq\) folgt dann insgesamt \(=\).   ─   stal 21.04.2021 um 15:47

Und kann man sagen dass wenn man die Stetigkeit zeigen will allem ||T(f)|| <= ||f|| entsprechen muss, oder muss ich mit der Lipschitz-Stetigkeit argumentieren?   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 16:03

Meinst du die Stetigkeit von \(T\) oder die von \(f\)?   ─   stal 21.04.2021 um 16:06

von T. Kann man argumentieren, dass wenn eine lineare Abbildung beschränkt ist, ist sie insbesondere stetig?   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 16:13

Ja, eine lineare beschränkte Abbildung ist stetig. Wenn dir das bekannt ist, kannst du das natürlich verwenden.   ─   stal 21.04.2021 um 16:17

Okey das heißt wenn das nicht bekannt wäre müsste ich mit der Lipschitz-Stetigkeit arbeiten? oder ist das eig. genau das selbe? Ich zeige ja damit nur die Beschränktheit des Operators oder? Oder wie könnte man sonst allgemein die Stetigkeit zeigen   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 16:22

Lipschitz-Stetigkeit ist nicht nötig, normale Stetigkeit reicht:
\(\forall f\in V,\varepsilon>0\exists\delta>0\forall g\in V:|\!|f-g|\!|<\delta\Longrightarrow|\!|T(f)-T(g)|\!|<\varepsilon\), die ganz normale Definition von Stetigkeit.
Natürlich kannst du auch Lipschitz-Stetigkeit zeigen, denn die ist hier auch gegeben und auch nicht schwer nachzurechnen.
  ─   stal 21.04.2021 um 16:31

Oke danke. Eine Frage hätte ich noch, wie bist Du konkret auf die spezielle Funktion bei f mit 0 und 2x-2 gekommen?   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 17:05

Damit \(T(f)\) Norm 1 hat, muss das ganze Gewicht von \(f\) in \([1,2]\) liegen. D.h. \(\int_0^1f(x)dx=0\) und \(\int_1^2f(x)dx=1\). Da kann man jetzt ziemlich beliebige Funktionen aussuchen, aber das einfachste ist, \(f\) auf \([0,1]\) komplett 0 zu setzen, das einfachste, was mir für \(x\in(1,2)\) einfällt, ist eine lineare Funktion, und wegen der Stetigkeit muss \(f(1)=0\) gelten, zusammen mit der Bedingung ans Integral kann man dann den Funktionsterm bestimmen.   ─   stal 21.04.2021 um 17:15

Vielen Dank! Also die Funktion x-1 würde ja die Bedingung (integral 1 bis 2 =1 )verletzen und damit würde es nicht funktionieren, oder?   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 17:39

Die Funktion \(x-1\in V\) hat Norm \(0\). Damit können wir also überhaupt nichts über die Norm von \(T\) aussagen, denn die hat ja nur was mit den Funktionen zu tun, die Norm 1 haben.   ─   stal 21.04.2021 um 17:41

Wie haben sie die Norm berechnet? Integral von 0 bis 2 weil die 1-Norm so definiert ist? Weil Integral 0 bis 2 für die Funktion 2x-2 ist ja auch 0 und nicht 1, oder versteh ich hier was falsch?   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 17:52

Ich habe \(|\!|T(f)|\!|\) berechnet, und \(T(f)=f(x+1)\) nach Definition von \(T\). Nun ist das ein Element in \(W\), d.h. \(|\!|T(f)|\!|=\int_0^1T(f)(x)\,dx=\int_0^1f(x+1)\,dx=\int_1^2f(x)\,dx=\ldots\)   ─   stal 21.04.2021 um 18:11

Und wie berechnest Du dann konkret die Norm? Ich verstehe nicht wie x-1 die Norm 0. hat...   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 18:18

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Tut mir leid, ich bin bescheuert. Ich hab den Betrag vergessen. Natürlich hat x-1 auch Norm 1. Aber \(T(x-1)\) hat nur Norm \(\frac12\).   ─   stal 21.04.2021 um 18:30

Ah ja genau perfekt, danke!   ─   anonym.opals 21.04.2021 um 18:33

Das stimmt nicht so ganz, du musst auch logischerweise nicht auf den selben Wert für das Integral kommen, wenn du eine andere Funktion verwendest. Die Operatornorm ist hingegen die selbe, das ist entscheidend. x-1 funktioniert genauso!   ─   benutzer333 21.04.2021 um 22:11

Jetzt bin ich verwirrt..
  ─   anonym.opals 21.04.2021 um 22:21

@benutzer333 was meinst du mit "x-1 funktioniert genauso!" wir wollen zeigen, dass \(|\!|T|\!|=1\) Dafür ist es nicht wirklich hilfreich, \(x-1\in V\) zu betrachten, denn \(|\!|x-1|\!|_V=1\), aber \(|\!|T(f)|\!|=\frac12\), sodass man dadurch nur \(|\!|T|\!|\geq\frac12\) zeigt. Das bringt einen aber nicht weiter.   ─   stal 22.04.2021 um 09:44

Aber aus der b) wissen wir ja schon dass ||T||<=1 ist daraus folgt dann dass ||T||=1 ist. Also reicht es wenn ||f||=||T(f)|| gilt und zusätzlich ||T||<=1   ─   anonym.opals 22.04.2021 um 15:37

Ja, genau. Und ein Beispiel für \(|\!|f|\!|=|\!|T(f)|\!|\) ist die Funktion \(f\), die ich in meiner Antwort angegeben habe, nicht aber \(x-1\).   ─   stal 22.04.2021 um 15:45

Wenn aber die Funktion so definiert ist dass 0 für 0<=x<=1 und x-1 für 1   ─   anonym.opals 22.04.2021 um 16:15

Das würde auch funktionieren, ja.   ─   stal 22.04.2021 um 16:41

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