Mathematischerl Beweis?

Aufrufe: 342     Aktiv: 15.05.2023 um 15:39
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Hallo,

ich habe eine Aufgabenstellung bekommen, mit welcher ich leider überhaupt nicht zurechtkomme, da ich noch nie etwas bewiesen habe: Beweisen Sie, dass x^2 -2 px + 2 p^2 für alle reellen Werte von x nicht-negativ ist.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Liebe Grüße ☺️
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Schüler, Punkte: 44

 
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Gib nicht gleich auf, bloß weil da Beweis steht.
Anfangen geht immer, bei Mathe-Aufgaben oft mit Beispielen. Also probiere ein paar $p$'s aus und skizziere den Graphen der Funktion. Was fällt Dir auf (sag dabei, welche $p$'s Du probiert hast).
Nachweis (danach) mit quadratischer Ergänzung.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.01K

 
Ich habe die Werte 1,3,5 und -2 für p eingesetzt und gemerkt das die Graphen sich immer nur im ersten und zweiten Quadranten befinden.   ─   lalu90 14.05.2023 um 11:02
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Gut. Passt das zur Behauptung?
Kannst du den Ausdruck mit quadratischer Ergänzung umschreiben?
Ein Beweis ist nichts anderes als eine Begründung, aber eine logisch saubere, vollständige.
   ─   mikn 14.05.2023 um 11:22
Ja das passt. Inwiefern meinen Sie mit der quadratischen Ergänzung?   ─   lalu90 14.05.2023 um 12:10
Weißt Du, was quadratische Ergänzung ist? Kannst Du den Ausdruck damit umformen? Ist das gleiche wie auf die Scheitelpunktsform zu bringen.   ─   mikn 14.05.2023 um 12:18
Ja ich kenne die quadratische Ergänzung. Ich weiß nur nicht genau wie ich sie anwenden soll, da ich 2 Unbekannte ^2 habe.   ─   lalu90 14.05.2023 um 21:42
Wie würdest du sie anwenden, wenn $p$ eine Zahl wäre? Das geht genauso. Du kannst ja auch mit Buchstaben rechnen.   ─   cauchy 14.05.2023 um 21:44
Aber beim Schritt, in welchem ich die binomische Formel “erkenne”, habe ich doch ein p zu viel, oder?   ─   lalu90 14.05.2023 um 22:10
Es ist natürlich keine vollständige binomische Formel, es bleibt was übrig. Die quadr. Ergänzung beruht ja auf den ersten beiden Summanden.
Das übriggebliebene schauen wir dann nochmal an. Was erhälst Du nach Umformung?   ─   mikn 14.05.2023 um 22:19
(x^2-1)^2-1+2p^2   ─   lalu90 14.05.2023 um 22:26
Wenn Du das ausrechnest, müsste ja die Originalfunktion von oben rauskommen. Prüf das mal. Außerdem wäre der Scheitelpunkt stets bei x=1, ist das bei den Beispielkurven so? Prüfe nochmal die qErg, viel ist nicht falsch (und Tippfehler vermutlich auch drin).   ─   mikn 14.05.2023 um 22:29
Nein es kommt nicht die gleiche Funktion raus. Ich verstehe nicht was ich mit dem p bei 2px machen muss…   ─   lalu90 15.05.2023 um 08:24
Kannst Du wirklich quadratische Ergänzung? Dann mach sie erstmal mit p=1, 3,5,-2, wie beim Skizzieren. Mit dem p rechnet man wie mit einer Zahl.   ─   mikn 15.05.2023 um 10:00
Ja. Entschuldigung ich habe die ganze Zeit nicht daran gedacht mit dem p zu rechnen. Meine neue Lösung ist: (x-p)^2+2p^2-p   ─   lalu90 15.05.2023 um 10:25
Überprüfe mal durch Ausmultiplizieren, ob es stimmt. So ganz passt das noch nicht.   ─   cauchy 15.05.2023 um 11:43
Stimmt… Jetzt bin ich etwas verloren 🥲   ─   lalu90 15.05.2023 um 13:11
Der Anfang stimmt, nur das Ende nicht.   ─   mikn 15.05.2023 um 13:19
Ich komme nicht weiter   ─   lalu90 15.05.2023 um 14:04
Das liefert uns keinen Ansatzpunkt Dir zu helfen. Wobei kommst Du nicht weiter? Hast Du die Klammer ausgerechnet? Die Korrektur (um auf den in der Aufgabe genannten Ausdruck zu kommen) kriegst Du bestimmt hin. Schreibe Deine Rechnung hierhin, vollständig (wie bist Du auf Dein letztes Ergebnis gekommen?).
Kannst auch ein Foto hochladen (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 15.05.2023 um 14:09
Ich habe nochmal geschaut und gesehen das ich das 2p^2 ja auch als p^2+p^2 schreiben kann. So kann ich praktisch mit 1 ausklammern und meine binomische Formel formen. Am Ende komme ich so auf (x-p)^2+p^2   ─   lalu90 15.05.2023 um 14:22
Aha, geht doch. (Du hast also quadratische Ergänzung nicht benutzt, wiederhole das unbedingt, das braucht man noch bei anderen Gelegenheiten).
Kannst Du jetzt sehen, dass dieser Ausdruck für alle x und alle p positiv ist? Wenn ja, und Du das begründest, ist das der gesuchte Beweis (dazu gehört natürlich noch die Umformung).   ─   mikn 15.05.2023 um 14:28
Anmerkung: nicht jeder lernt mehr die quadratische Ergänzung (leider), Scheitelberechnung erfolgt oft mithilfe der Lage zwischen den Nullstellen nach vorheriger Verschiebung, so, dass eine Nullstelle im Ursprung liegt).   ─   monimust 15.05.2023 um 15:05
@monimust: Ich hab gefragt, ob er qErg kennt und er hat gesagt ja (siehe oben).   ─   mikn 15.05.2023 um 15:09
Das habe ich gesehen, aber wie sie dann umgesetzt wurde, Zweifel bekommen (siehe andere Frage mit dem Einklammern). Es schadet doch nicht, nachzuhaken bei erkennbaren Unsicherheiten.   ─   monimust 15.05.2023 um 15:32
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Ist alles passiert. - Es wäre gut, nicht auch noch diesen Dialog mit didaktischen Diskussionen zu ergänzen, um das Fragy nicht zu verwirren. Immerhin sind wir noch nicht durch mit der Aufgabe.   ─   mikn 15.05.2023 um 15:39

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