Eine sehr interessante Frage. Ich kann dazu Folgendes sagen:

Dass Geraden im \( \mathbb{R}^3 \) nur in der Form \( \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{b} \) dargestellt werden können, ist so nicht richtig.
Beispielsweise lässt sich die Gerade
\( \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
auch darstellen als
\( \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Das sieht man folgendermaßen ein:
Wenn
\( \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
ist, dann folgt
\( \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \vec{x} \) \( = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right) \) \( = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) \( = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) \( = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Gilt andererseits
\( \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
dann folgt wegen
\( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
die Gleichheit
\( \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Das lineare Gleichungssystem
\( \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \vec{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
besitzt aber gerade Lösungsvektoren der Form
\( \vec{y} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
also muss
\( \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
bzw.
\( \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
sein.

Allgemein gilt:
Eine Gerade
\( \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{b} \)
lässt sich immer darstellen in der Form
\( M \vec{x} = M \vec{a} \)
mit einer \( 2 \times 3 \)-Matrix \( M \), dessen Zeilenvektoren den Lösungsraum von \( \vec{b}^T \vec{y} = 0 \) aufspannen.

In höheren Dimensionen kann man dann ähnliche Resultate erzielen. Und für Ebenen erhält man ebenfalls ähnliche Resultate.

Man kann sich auch leicht überlegen, dass man die Koordinatenform einer Ebene
\( \vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} \)
im \( \mathbb{R}^3 \) mit Normalenvektor
\( \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \)
auch schreiben kann als
\( \begin{pmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{pmatrix} \vec{a} \)
also in der Form
\( M \vec{x} = M \vec{a} \)
mit einer \( 1 \times 3 \)-Matrix \( M \), dessen Zeilenvektor den Lösungsraum von \( \begin{pmatrix} \vec{b}^T \\ \vec{c}^T \end{pmatrix} \vec{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) aufspannt.

Ich hoffe, dass dir das ein bisschen weitergeholfen hat.

Zum Abschluss möchte ich dich noch auf einen Fehler hinweisen. Du hast geschrieben "Durch Rechnungen habe ich herausgefunden, dass es in der 4. Dimension nur möglich ist Ebenen in Parameterform darzustellen, da es keinen Normalenvektor gibt, der auf den beiden Richtungsvektoren senkrecht steht (das LGS ist unlösbar)." Das kann so nicht sein. Der Lösungsraum des LGS wird im \( \mathbb{R}^4 \) sogar von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt, man findet also sogar zwei linear unabhängige Vektoren, die senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen. Rechne das ggfs. nochmal nach.