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Hallo zusammen,

ich blicke nicht warum die Wahrscheindlichkeit den "El Gordo" (Hauptgewinn) zu gewinnen bei 1:100.000 angegeben wird.

Das Spiel funktioniert folgendermaßen.

1. Urne: 100.000 Kugeln nummeriert zuwischen 00000 und 99999
2. Urne: 1807 Kugeln, davon sind:
  • 1x Hauptgewinn (El Gordo)
  • 1x 2. Preis
  • 1x 3. Preis
  • 2x 4. Preis
  • 8x 5. Preis
  • 1794x 6. Preis
Zuerst wird aus der ersten Urne gezogen und dann aus der zweiten. Die Kugeln werden nicht zurückgelegt. Die Ziehung ist vorbei sobald die zweite Urne leer ist, also nach 1807 Ziehungen. 1807 von den 100.000 gewinnen einen Preis.

Warum ist die Wahrscheindlichkeit nun den Hauptpreis zu gewinnen bei 1:100.000? Müsste die Wahrscheindlichkeit, zumindest bei der ersten Ziehung, nicht (1/100.000)*(1/1807) sein? Und dann bei der nächsten Ziehung (1/99.999)*(1/1806).... etc.

Kann man das irgendwie veralgemeinern? Die Wahrscheindlichkeit am Anfang und am Ende den Hauptpreis zu gewinnen müsste ja am geringsten sein und irgendwann zur Mitte den Ziehung das Maximum erreichen?

Danke und Grüße!
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So ganz verstehe ich das Spiel nicht. Welche Relevanz hat die erste Urne?   ─   cauchy 12.12.2023 um 12:52
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Habe es jetzt nochmal nachgelesen. Der Unterschied ist, dass die Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Es wird also genau einer der 100000 Nummern der El Gordo zugeordnet. Man könnte auch die zweite Urne auf 100000 Kugeln auffüllen und dann für jede Kugel den Gewinn ziehen. Da es dann 1 von 100000 Kugeln mit dem El Gordo gibt, ist die Wahrscheinlichkeit 1/100000.
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Habe ich ein Los mit, sagen wir, der Losnummer X gekauft, dann sind meine Chancen, bei der zweiten Ziehung den Hauptgewinn zu gewinnen, \(\displaystyle  \frac{1}{99.999} \cdot\frac{1}{1806} \), allerdings nur dann, wenn
- der Hauptgewinn nicht schon bei der 1. Ziehung gezogen wurde, und...
- ... Losnummer X bei der ersten Ziehung nicht schon gezogen wurde.
Andernfalls ist die W. auf einen Hauptgewinn bei der 2. Ziehung 0.

Die W., dass der Hauptgewinn nicht schon bei der 1. Ziehung gezogen wurde, ist  \(\displaystyle  \frac{1806}{1807} \).
Die W., dass Losnummer X bei der ersten Ziehung nicht schon gezogen wurde, ist \(\displaystyle  \frac{99.999}{100.000} \).

Mithin ist die W., dass Los X in der zweiten Ziehung den Hauptgewinn macht, \(\displaystyle \frac{1806}{1807} \cdot \frac{99.999}{100.000} \cdot \frac{1}{99.999} \cdot \frac{1}{1806} = \frac{1}{100.000}\frac{1}{1807}\).

Analog folgt bei allen anderen Ziehungen: W., dass Los X den Hauptgewinn macht, ebenso groß ist.
Macht bei 1807 Ziehungen: \(\displaystyle 1807\cdot \frac{1}{100.000}\frac{1}{1807} = \frac{1}{100.000}\).

Das ist auch kein Wunder. Sei Y die Losnummer, die hauptgewinnt. Die W., dass X=Y, ist bei 100.000 Losnummern \(\displaystyle \frac{1}{100.000}\)
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