Äquivalenzrelation Reflexiv, Symmetrisch, Transitiv

Erste Frage Aufrufe: 71     Aktiv: 14.04.2021 um 15:50

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Folgende Aufgaben:

1. X=|N ; R{(x,y)|x,y Element X; x+y=10}

2. X=|Z ; R={(x,y)|x,y Element X; x-y ist ohne Rest durch 5 Teilbar)

Handelt es sich hierbei um eine Äquivalenzrelation? 
Allgemein ist mir die Überprüfung auf "Reflexic, Symmetrisch und Transistiv" bekannt und ich habe es verstanden. Aber die Umsetzung zu diesen Aufgaben fällt mir schwer.

Wie lautet denn die Überprüfung auf Reflexivität, Symmetrie und Transistivität für o.g. Aufgaben.

Vielen Dank für die Hilfe!
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1 Antwort
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Als Anstoss:
reflexiv bedeutet: für alle x gilt \((x,x)\in R\),
Was allgemein \((x,y)\in R\) bedeutet, steht in der Definition rechts vom Semikolon (alles bis zu "}").
Das setzt man ein (wörtlich, nichts weglassen, nicht hinzufügen) und schaut, was dann da steht, ob es erfüllt ist oder nicht.

Wie würde das hier also aussehen?
\((x,x)\in R \iff ???\) Ist das für alle x erfüllt?

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Also mit Einsetzen von Zahlen kann ich da lösen aber geht das nicht auch mit einer allgemein gültigen Aussagen? Wie gesagt ich verstehe das Grundprinzip schon und glaube eher, dass ich mir zu viele komplizierte Gedanken mache obwohl diese Aufgaben nicht schwierig sein sollten.

Lösung zu 1. --> nicht Reflexiv, Symmetrisch, nicht Transitiv
Hier kann man durch einsetzen (X=4 und Y=6), dass es nicht Reflexiv ist(4+4≠10) und nicht Transitiv ist da "z" bei diesem Beispiel auch eine 4 ist und das Ergebnis somit ungleich 10.
Lösung zu 2. --> Äquivalenzrelation
  ─   user504025 14.04.2021 um 14:15

Du gehst da intuitiv vor, Du solltest das streng nach Vorschrift machen, dafür war meine Anleitung. Magst Du das probieren? Dann mach es bitte für die erste Relation nur für reflexiv. Zahlen kommen erst am Ende ins Spiel, bei der Prüfung ob erfüllt oder nicht. Die kommen NICHt als erstes.   ─   mikn 14.04.2021 um 14:26

Reflexiv wäre ja dann: x+x=10.
(x,x) ∈ R ist nicht für alle x gültig.
  ─   user504025 14.04.2021 um 14:46

Dann mache ich es einmal für Dich, in der Hoffnung, dass es dann klar wird:
===================
Prüfung, ob Relation 1 reflexiv ist:
\((x,x)\in R \iff x+x=10\). Dies ist nicht für alle x erfüllt, z.B. für \(x=1\in N\), also ist R nicht reflexiv.
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Das ist eine Musterlösung. "Muster" heißt, dass man damit auch generell arbeiten kann, wenn man die entsprechenden Teile austauscht.
Kriegst Du damit nach diesem Muster die Symmetrie hin?
Es fängt an mit
=======================
Prüfung, ob Relation 1 symmetrisch ist:
\([(x,y)\in R \iff (y,x)\in R] \iff\) und nun stur einsetzen.
  ─   mikn 14.04.2021 um 14:59

(x,y) ∈ R ⟺ (y,x) ∈ R ⟺ y + x =10. Ist für alle (y,x) erfüllt, z.B. 2+8=10 ⟺(x,y) 8+2=10. Daher Symmetrisch

Und Transitivität :

(x,y) ∈ R, (y,z) ∈ R ==> (z,x) ∈ R

(x,y) ~ (y,z) ==> x=z. Diest ist nicht für alle x erfüllt, z.B. x=2. Daher auch nicht transistiv.
  ─   user504025 14.04.2021 um 15:08

Nein, das geht so nicht: symmetrisch: Gleiches für gleiches Einsetzen. Eckige Klammern sind wichtig und habe ich bewusst benutzt - es geht um die Äquivalenz, die für Symmetrie gefordert ist. Deine Begründung passt daher auch gar nicht.   ─   mikn 14.04.2021 um 15:50

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