Nullstellen einer trigonometrischen Gleichung

Aufrufe: 75     Aktiv: 30.10.2021 um 15:13

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Zu folgender Gleichung a) sollen die Lösungen für Phi bestimmt werden (Bogenmaß). Für die erste Lösung habe ich sin 2*Phi mit einem Additionstheorem ersetzt und konnte damit Kosinus Phi ausklammern. Der Kosinus Phi 0 gesetzt ergibt pi/2. Die zweite Lösung bekommt man durchs 0 setzen des zweiten Faktors (2*sin Phi - 1,364), woraus 0,75 für Phi folgt. Die dritte Lösung (siehe unten) wiederum kann ich nicht ganz nachvollziehen. Durch Zufall habe ich herausgefunden, dass die 2,39 die Differenz von pi - 0.75 entspricht. Könnte mir jemand erklären, wie die dritte Lösung zustande kommt?

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Trigonometrische Gleichungen lassen sich meist nicht so leicht durch Benutzen von TR o.ä. lösen. Hier sollte man wirklich die Umkehrfunktionen der trig. F. verstanden haben, und dazu gehört der jeweilige Def.- und Wertebereich.
Auch muss bei einer Gleichung bedacht werden, in welchem Intervall Lösungen gesucht sind. Hier sind anscheinend alle gesucht.
Dann ist aber die Lösung von $\cos x=0$ auch nicht $\frac\pi2$, sondern $\frac\pi2+k\,\pi$ (und das muss man sich überlegen, einfach $+k\,\pi$ dahinterschreiben geht nicht).
Die Gleichung $\sin x=\frac{1.364}2$ hat in $[0,2\pi]$ zwei Lösungen (was man leicht durch Betrachtung der sinus-Kurve sieht). $\arcsin$ wird meist als $\arcsin:[-1,1]\to [-\frac\pi2,\frac\pi2]$ definiert, daher erwischt man damit mit Anwendung von $\arcsin$ nur die eine Lösung. Die andere erhält man, weil $\sin (\pi -x)=\sin x$ ist.
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Danke für deine Antwort. Ich sollte mir angewöhnen die Funktionen nochmal zu skizzieren, dann wird mir die Periodizität deutlicher. Das der Taschenrechner mir nur die eine Lösung angibt, war mir gar nicht bewusst.   ─   user8faafd 30.10.2021 um 15:04

Klingt so, als hast Du dauerhaft was gelernt. Das freut mich.   ─   mikn 30.10.2021 um 15:13

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Die 2,39 errechnen sich aus pi-0,75, die zweite Lösung für den Sinus.
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