Symmetrie trigonometrischer Funktionen

Aufrufe: 128     Aktiv: 29.06.2022 um 08:50

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Hallo,

ich habe in einem Video von Daniel folgendes gesehen hinsichtlich der Symmetrie bei Kosinus und Sinus:

Für sin(-x) gilt -sin(x) und für cos(-x) gilt cos(x)

Entsprechend habe ich folgende Aufgabe f(x) = sin(x)*cos(x), in welcher die Symmetrie der Fkt. überprüft werden sollte, folgendermaßen gelöst:

f(-x) = sin(-x)*cos(-x) = - sin x * cos x, das ist ungleich f(x)
f(-x) * (-1) = sin(x)*(-cos(x)), was also immer noch ungleich f(x) ist. Daher hätte ich vermutet die Fkt. ist weder AS noch PS.

Stimmt das?
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Im Zweifel erstmal immer den Graphen der Funktion zeichnen lassen. Dann sieht man schon welche Symmetrie vorliegt und was man für eine Gleichung überprüfen muss. Also Funktion zeichnen. Dann prüfst du $f(-x)=f(x)$ für Achsensymmetrie bzw. $f(-x)=-f(x)$ für Punktsymmetrie.
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Die gezeichnete Funktion sieht punktsymmetrisch aus. Ich verstehe jedoch nicht, wieso ich das nicht mit meiner Rechnung erhalte. Kannst du mir sagen, was an meiner Rechnung falsch ist?   ─   kunstformen 27.06.2022 um 17:46

Ok richtig punktsymmetrisch. Du willst ja prüfen $f(-x)=-f(x)$! Schau mal genau in deine Frage da hast du es eigentlich schon fast gezeigt.   ─   maqu 27.06.2022 um 18:08

Wäre die nachfolgende Rechnung somit korrekt?
f(-x) = sin(-x)*cos(-x) = -sin(x)*cos(x)
-f(x) = -sin(x)*(-cos(x)) ....nein das stimmt immer noch nicht wirklich, denn -cos x ist nicht gleich cos(x) oder cos(-x)...wo liegt mein Fehler?
  ─   kunstformen 28.06.2022 um 08:44

die erste Rechnung stimmt \(f(-x)=-f(x)\) Die zweite Gleichung \(f(-x)(-1)=...\) ist dieselbe nur mit (-1) multipliziert. Du fragst dann aber noch im Kommentarbereich nach \(-f(x)\) . Aber im Prinzip ist entspricht das deiner ersten Rechnung.   ─   dragonbaron 28.06.2022 um 08:51

@kunstformen deine erste Rechnung musst du nur noch mit einem weiteren $=\ldots$ zu Ende denken. Was ist denn $-\sin(x)\cos(x)$?   ─   maqu 28.06.2022 um 09:37

Ich weiß die Antwort wirklich nicht...Habe überlegt, ob es etwas mit den Umformungen zu tun haben könnte, also dass -sin(x)*cos(x) = sin(-x)*cos(-x) ist? Ahhh jetzt verstehe ich, dadurch komme ich auf f(-x), richtig? Und da das äquivalent ist, gilt die Punktsymmetrie.   ─   kunstformen 29.06.2022 um 08:26

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Ich bin mir nicht sicher ob du es wirklich verstanden hast, da du in deinem Kommentar zum einen sagst das du es nicht verstehst aber zum anderen dann doch meinst es verstanden zu haben. Aber ja deine letzte Argumentation ist richtig. Um ob du jetzt zeigst das $-f(x)=\ldots =f(-x)$ oder $f(-x)=\ldots =-f(x)$ gilt ist egal. Auch $-f(-x)=\ldots=f(x)$ wäre als Begründung richtig. Wichtig ist das du es sauber aufschreibst und die einzelnen Umformungsschritte nachvollziehst.   ─   maqu 29.06.2022 um 08:50

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