Polstellen (mit und Ohne VW) bei gebrochen rationalen Funktionen

Erste Frage Aufrufe: 74     Aktiv: 11.10.2021 um 13:58

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Hi ich würde gerne wissen wie man das Verhalten vom Unendlichen an Polstellen herausfindet ohne Graph und wie man Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel bestimmt. Das ganze soll sich auf gebrochen rationale Funktionen beschränken.
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Polstellen finden sich an Nullstellen des Nennerpolynoms, wie oben bereits steht, sowie, dass nicht jede Nennernullstelle eine Polstelle ist.
Das VZ bzw. dessen Wechsel, kannst du mit Hilfe eines TR herausfinden, indem du Zahlenwerte kurz vor und kurz nach der Polstelle einsetzt und durchrechnen, 
Einfachbeispiel, $f(x)=\frac{2}{x-1}$, Polstelle ist 1. Setze jetzt 0.9 ein und es wird negativ, bei 1,1 positiv.
Bei $g(x)=\frac {2}{(x-1)^2}$ kommt immer eine positive Zahl heraus, kein Vorzeichenwechsel.

Statt mit dem TR kann man es auch mit dem Hirn versuchen, da die Funktion ungerade ist, liegt ein VZW an der Polstelle vor, bei g durch das Quadrat, keiner.
Edit nach Hinweis:(siehe Kommentare): gerade und ungerade Funktion mit der Möglichkeit einen VZW zu erkennen, bezieht sich auf die genannten Beispiele.
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selbstständig, Punkte: 9.78K

 

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Da fehlt das Fragezeichen,
sowie der Bezug: besser als die vorangegangene Antwort, nehme ich an.

Antwort: sie ist anders, indem sie mit einem Beispiel arbeitet, und v.A. geht sie auf die Frage ein, wie es sich mit den VZ verhält und wie man darauf kommt.
Ob sie besser ist, hängt (so lange sie richtig ist) davon ab, ob sie dem Fragenden (oder Mitlesenden) hilfreicher erscheint.
  ─   monimust 11.10.2021 um 02:13

Mit dem "ungerade" habe ich ein Problem. Es gibt auch ungerade Funktionen mit mehreren Nullstellen, und nicht jede dieser Nullstellen muss einen Vorzeichenwechsel haben. Und wenn (das war jetzt nicht Dein Beispiel) der Zähler an gleicher Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat (und die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner größer als im Zähler ist - sonst wäre es ja eine hebbare Singularität), reicht es auch nicht, wenn die Funktion im Nenner einen Vorzeichenwechsel an der Nullstelle hat.   ─   joergwausw 11.10.2021 um 13:39

Du hast recht, beliebig komplizierte Funktionen lassen sich so nicht verallgemeinern. Ich hatte die Antwort auf meine Beispiele bezogen, bei anderen hieße es dann, noch mehr Hirn dazuschalten.

Man will die Antwort ja auch nicht allumfassend gestalten (im Sinne des Fragenden, dessen Wissen und Verständnis ohne Reaktion unbekannt bleibt und auch nicht im eigenen, unnütze Arbeit vermeiden wollend)
Ich schreibe es aber oben in die Antwort dazu, um Fehlinterpretation zu vermeiden.
  ─   monimust 11.10.2021 um 13:53

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Die Vorzeichen an Polstellen (keine hebbaren Lücken) findet man mit einer Grenzwertbetrachtung heraus. Wenn $x^*$ eine Polstelle ist, untersuche die Vorzeichen vom Zählerpolynom $z(x)$ und Nennerpolynom $n(x)$ für $x \nearrow x^*$ und $x \searrow x^*$. Du musst den Grenzwert also aus beiden Richtungen betrachten.

Ist dir klar, wie so etwas funktionieren würde?
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Selbstständig, Punkte: 12.82K

 

Deine Antwort hat einen Downvote erhalten.

Begründung: Ist da was Neues bei

Anscheinend ist wieder jemand gekränkt und verteilt Rache-Downvotes. Ja, es ist sehr wohl etwas Neues dabei, denn bisher ist keiner auf die Grenzwertbetrachtung an der Polstelle eingegangen, die aber hier wesentlich ist, um überhaupt zu verstehen, was hier mit dem Vorzeichen passiert.
  ─   cauchy 11.10.2021 um 03:00

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Polstellen können nur vorkommen bei Funktionen der Form \(f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}\) an Stellen \(x_0\), bei denen \(n(x_0)=0\) ist. Dort hat die Funkion eine Defintionslücke, die allerdings behoben werden kann, wenn der Bruch \(\frac{z(x)}{n(x)}\) durch Kürzen in einen äquivalenten Bruch  \(\frac{z^*(x)}{n^*(x)}\) umgewandelt werden kann, für den \(x_0\) keine Definitionslücke ist.
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.62K

 

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