Der relative Rundungsfehler

Aufrufe: 93     Aktiv: 15.02.2024 um 19:19

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Die frage ist für welche zahl ∈ (0,1,2.....,10,20) ist der relativen Rundungsfehler in einem System F(10,d,20−d) minimal ?
wie gross ist die größte zahl aus f (10,d,20−d) für dieses d ?
welche vorteil biete größte d und welche die kleinste ?

meine Lösug/
Der relative Rundungsfehler wird kleiner, wenn die Mantisse länger ist, weil mehr signifikante Ziffern zur Darstellung der Zahl genutzt werden können. für d 0 bis 20 ist der relative Rundungsfehler minimal, wenn d maximal ist also 20 In diesem Fall gibt es keine Ziffern für den Exponenten, und das System kann nur normalisierte Zahlen darstellen, die in der Nähe von 1 liegen.

Die größte Zahl, die in F(10,d,20−d) dargestellt werden kann, ist bestimmt durch die größte Mantisse, die nahe bei 1 liegt (genau genommen 0.999) und den größten Exponenten, der 10^20-d ,für d=20 ist der Exponententeil nicht vorhanden, und die größte darstellbare Zahl wäre einfach die größte Mantisse, die nahe bei 1 liegt.

Vorteile eines großen d /
-Höhere Genauigkeit bei der Darstellung der Zahlen
-Geringerer relativer Rundungsfehler bei der Repräsentation und Berechnung.

Vorteile eines kleinen d /
-Größere Reichweite von darstellbaren Zahlen
-Möglichkeit, sowohl sehr große als auch sehr kleine Zahlen darzustellen
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Wie genau ist denn die Menge F(10,d,20−d) definiert?   ─   m.simon.539 14.02.2024 um 22:17

@m.simon siehe https://www.mathefragen.de/frage/q/2d53bb8fb5/fliekommazahlen/   ─   mikn 14.02.2024 um 22:28
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Die erste Frage ist ein bisschen falsch formuliert: Sie müsste m.E. lauten:

   Für welche \(d\in \{0,1,2,\ldots,10,20\}\) ist der maximale relative Rundungsfehler in dem System \(\mathbb{F}(10,d,20-d)\) minimal.

Hierbei muss man allerdings den Underflow ausschließen. Der tritt bei Zahlen \(\varepsilon \in\mathbb{R}\setminus \{0\}\) auf, die vom Betrag her so klein sind, dass sie dichter an 0 liegen als an jeder anderen Zahl aus \(\mathbb{F}(10,d,20-d)\). Solche Zahlen werden zu 0 gerundet, der absolute Rundungsfehler ist dann \(\varepsilon\), der relative Rundungsfehler \(\varepsilon / \varepsilon = 1\).

Die Antwort auf die erste Frage lautet, wie Du ja auch schreibst: d=20.
Allerdings ist Deine Begründung ein bisschen verworren. Vielleicht so:
Der relative Rundungsfehler ist umso kleiner, je länger die Mantisse ist, je größer also d ist. Darum ist für das maximale d, also d=20, der relative Rundungsfehler minimal.

Dann ist die Antwort auf die zweite Frage ebenfalls eine konkrete Zahl: Zwanzig Neunen, davon eine vor dem Komma, also: 9.999 999 999 999 999 999 9 (und nicht 0.999).

Deine Antwort auf die dritte Frage ist korrekt.

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