Zur Berechnung der Ableitung mit der h-Methode:

Allgemein gilt:

\(f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

In diesem speziellen Fall gilt also:

\(f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x+h)^3+(x+h)-1-2x^3-x+1}{h}\)

Nun ausmultiplizieren:

\(f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3+x+h-1-2x^3-x+1}{h}\)

Nun hebt sich schon einiges weg und übrig bleibt:

\(f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{6x^2h+6xh^2+2h^3+h}{h}\)

Nun klammern wir ein h im Zähler aus, um es mit dem h im Nenner kürzen zu können:

\(f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{h\cdot(6x^2+6xh+2h^2+1)}{h}\)

Für h->0 werden alle Terme die ein h enthalten ebenfalls 0 und übrig bleibt die gesuchte Ableitung:

\(f'(x)=6x^2+1\)