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Hallo,
ich habe leider noch keine Erfahrung mit diesem Iterationsverfahren, aber wenn ich das richtig verstanden habe, setzt du in jedem weiteren Iterationsschritt für \( x_i \) den vorherigen Folgenwert ein.
Da die Anfangsbedingung
$$ \begin{pmatrix} x(0) \\ y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} $$
ist haben wir das erste Folgenglied
$$ X_0(t) = \begin{pmatrix} x_0(t) \\ y_0(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} $$
Du hast außerdem das System
$$ \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y(t) \\ 2 \lambda y(t) - \lambda ^2 x(t) \end{pmatrix} $$
deshalb würde ich sagen ist dein erster Itertationsschritt
$$ X_1 (t) = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} + \int\limits_0^t \begin{pmatrix} \lambda \\ 2 \lambda ^2 - \lambda ^2 \end{pmatrix} \mathrm{d}t = \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} + \int\limits_0^t \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda ^2 \end{pmatrix} \mathrm{d}t $$
oder was meinst du?
Wir müssen ja für \( x(t) \) den Anfangswert \( 1 \) einsetzen und für \( y(t) \) den Anfangswert \( \lambda \).
Grüße Christian
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Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe vielleicht meine Frage nicht konkret genug gestellt:
Das Picard. Iterationsverfahren ist mir klar. Ich musste letzte Woche bereits eine Aufgabe dieser Art lösen, nur im Eindimensionalen.
Mein Problem war es den ersten Schritt genau zu bestimmen, obwohl das eigentlich einfach ist und genau so gemacht werden muss wie du es beschrieben hast.
Ich habe die Aufgabe nun gelöst und bin auf eine Taylorreihe gekommen. Nun muss ich das nur noch mit der vollständigen Induktion beweisen, dass das korrekt ist und dann habe ich die Lösung.
Nochmals vielen Dank für deinen hilfreichen Input! ─ wizzlah 16.03.2020 um 11:33
Ich gucke gerne nochmal über alles drüber wenn du fertig bist :) ─ christian_strack 16.03.2020 um 12:03
Ich würde weiter so vorgehen
$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\lambda ^2 & 2\lambda \end{pmatrix}^k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda ^k \\ \lambda ^{k+1} \end{pmatrix} $$
Das müsstest du nun noch mittels Induktion beweisen. Aber das geht relativ schnell :)
Wir erhalten damit
$$ y_n(t) = \sum\limits_{k=0}^n \frac {t^k} {k!} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - \lambda ^2 & 2 \lambda \end{pmatrix} ^k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^n \frac {(\lambda t)^k} {k!} \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \end{pmatrix} $$
Wenn du nun den Grenzwert \( n \to \infty \) bildest, erhälst du welchen Grenzwert? Bedenke, das
$$ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} {k!} = e^x $$
gilt.
Ähnlich kannst du dann bei der b) vorgehen. ─ christian_strack 16.03.2020 um 13:46
Ich denke eigentlich auch nicht, dass ich die Summe beweisen muss. ─ wizzlah 16.03.2020 um 14:36