Schreibe Deine Parametrisierung sauber hin und prüfe sie durch Einsetzen. Wenn Du die Parametrisierung richtig hast, kommt auch die richtige Länge raus.
Schiele nicht nach der speziellen Darstellung der Lösung. Hauptsache, das Endergebnis ist $2\pi\sqrt{5}$.
Die Aufgabe ist ziemlich schräg formuliert: Es gibt unendlich viele Integrale, die die Bogenlänge beschreiben. Das angegebene ist nur eines davon.
Eindeutig wäre die Angabe gerade dieses Integrale nur dann, wenn eine Kurve bei Euch per Def. zwingend ausschließlich auf $[0,2\pi]$ definiert sein muss. Was aber auch wiederum schräg wäre.