Wenn man ein reelles Polynom als Polynom über den komplexen Zahlen auffasst, kann man analog zum reellen Fall die komplexen Nullstellen faktorisieren. Der Polynomring (in einer Variablen) über einem Körper ist nämlich immer euklidisch. Allderdings wird dich das hier nicht weiterbringen.

Am besten erinnert man sich daran, dass die komplexe Konjugation ein Automorphismus von \( \mathbb{C} \) ist, der den Unterkörper \( \mathbb{R} \) festlässt. Dies impliziert für ein reelles Polynom \( p \in \mathbb{R}[X] \) folgende Tatsache: Ist \(z \in \mathbb{C}\) eine Nullstelle von \(p\), dann ist auch das komplex Konjugierte \( \bar z \) eine Nullstelle von \(p\).

Für die Aufgabe bedeutet dies, dass die Nullstellen \(5\), \(1+3j\) und \(1-3j\) sein müssen. Daraus kann man nun das Polynom aufstellen:

\( p(x) = (x-5)(x-(1+3j))(x-(1-3j)) = (x-5)(x^2 - 2x+10 ) = x^3 -7x^2 +20x - 50 \)

Für den zweiten Teil der Aufgabe ist es nützlich zu wissen, dass die 5 Wurzeln jeweils um 72 ° gedreht liegen. Siehe dazu meine Videos über komplexe Zahlen. Speziell das über Radizieren. Da wir außerdem 5 Wurzeln haben, muß eine Wurzel selbst auf der imaginären Achse liegen, so dass die anderen paarweise achssymmetrisch liegen. Versuch es doch einmal mit j selbst.