Was stellt ein vollständiges Differential dar?

Aufrufe: 820     Aktiv: 01.09.2020 um 10:58

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Guten Abned zusammen!

Was genau bzw. welche Kriterien stellen ein vollständiges Differential dar?

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Student, Punkte: 56

 
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Damit das ein vollständiges Differential einer Funktion \(f:R^3\longrightarrow R\) ist, muss u.a. gelten:

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = x^2\cdot y\cdot z^3\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = x^2\cdot z^3+\sin z\)

Wenn \(f\in C^2(R^3,R)\) ist, dann gilt nach Satz von Schwarz:

\(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y,z) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y,z)\) für alle \(x,y,z\).

Das ist aber offensichtlich hier nicht erfüllt. Daher kann es kein \(f\in C^2\) geben, dessen vollständiges Differential das gegebene ist.

Wenn man auch die weiteren Bedingungen aus dem Satz von Schwarz (die für die anderen zweiten partiellen Ableitungen und Kombinationen) anschaut, sieht man, dass das äquivalent zu \( rot\, f =0\) ist. Aber um \(rot\,f\) auszurechnen, muss man viel mehr rechnen. Zum Widerlegen der Aussage reicht ein Teil davon.

Das ganze gilt jetzt nur, wenn wir von \(f\in C^2\) reden. Ob es ein \(f\) mit geringeren Differenzierbarkeitsanforderungen gibt, dessen vollständiges Differential das gegebene ist, weiß ich nicht. Die Tatsache, dass in der Musterlösung mit der Rotation argumentiert wird, zeigt aber wie die Aufgabe gemeint ist - und dass sie nicht genau genug formuliert wurde (vermutlich nicht von Mathematikern).

 

 

 

 

 

 

 

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 39.52K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Moin FFD.

Ein vollständiges Differential, oder auch bekannt als totales Differential, ist definiert durch:

\(df=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}}dx_i\), wobei \(f(x_1,\dots, x_n)\) von \(n\) Variablen abhängt.

Nun musst du schauen, ob deine Gegebene Differentialform diese Definition erfüllt!

 

Grüße

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Student, Punkte: 9.96K

 

Weißt du warum man in der Musterlösung damit argumentiert, dass die Rotation von dem Vektor ungleich 0 ist und deshalb sich nicht um ein vollständiges Differential handelt?   ─   FFD 01.09.2020 um 08:57

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