Also dein Normalenvektor stimmt. In Bezug auf meine Antwort auf deine andere Frage ist $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ auch hier der normierte Vektor.

Zur Berechnung deiner Koordinatenform: Da machst du einen Fehler. Du setzt den Stützvektor nicht als Punkt ein. Du benutzt die Formel \[\vec{n}\cdot \left[ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} \right]=0 \], also berechnest du $\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1-2\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$. Versuchs nochmal, dann solltest du auch aufs richtige Ergebnis kommen. 

zu deiner andere Frage: benutze danach nochmal den normierten Normalenvektor zur Berechnung deiner Koordinatenform. Da kommt zwar eine andere Koordinatenform heraus, welche aber die gleiche Ebene beschreibt.