Dein Lehrer hat die Funktion b(a) genannt, weil b für die Breite steht und die Funktion die Breite in Abhängigkeit von der Länge berechnet.

Bei dir wäre dann Schluß gewesen bei \(b = \frac{100}{a}\). Wenn du das Ganze als Funktionsgleichung angibst, hättest du dann noch dranschreiben müssen, dass f(a) die Funktion ist, die die Breite in Abhängigkeit von der Länge berechnet.

Mit der Bezeichnung b(a) und den anderen Angaben a = Länge, b = Breite ist es klar.

Du hast eine Funktion aufgestellt: f(a)=...
Dein Lehrer hat eine Funktion aufgestellt: b(a)=...

Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur durch den Namen. Deine Funktion heißt f, weil Du vermutlich denkst, dass Funktionen immer f heißen müssen.
Dein Lehrer hat seine Funktion b genannt, weil er damit die Abkürzung für Breite b übernommen hat. Dann weiß man sofort, wofür diese Funktion hier da ist: Die Breite zu berechnen.

Hinter dem Gleicheheitszeichen steht das gleiche, das heißt dass Deine Funktion f mit der Funktion b Deines Lehrers übereinstimmg. Beide Funktionen sind gleich.
Deshalb ist auch beides richtig.

Dringender Tipp: Gewöhne Dich daran, dass verschiedene Buchstaben verwendet werden dürfen. Die mathematische Idee bleibt, aber es sieht mit anderen Buchstaben halt anders aus.

Du kannst für die Funktion auch $\pi(\star)=\frac{100}{\star}$ schreiben. Damit kann man auch rechnen.
Aber jeder macht das so, wie man selbst am besten den Überblick behält. Wenn man mit anderen darüber reden will, sollte man eher übliche Schreibweisen nehmen. So gibt es 25 häufig verwendete Möglichkeiten für den Funktionsnamen (nur das x ist eher unüblich als Funktionsname...) .