Erstmal ist die Annahme, dass sich $A$ in Jordan-Normalform bringen lässt, überflüssig: Jede Matrix lässt sich zumindest in einem algebraischen Abschluss des Grundkörpers in Jordan-Normalform bringen (da dann das charakteristische Polynom zerfällt) und die Frage, ob $B$ dann nilpotent ist, kümmert sich nicht darum, ob man zu einem größeren Körper übergeht.

Die Antwort ist aber nein. Betrachte die Matrix $$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\in\mathbb C^{2\times 2}$$ Das ist sogar eine Diagonalmatrix, also können wir die Eigenwerte direkt ablesen: $\lambda_1=0,\lambda_2=1$. Nimm dann z.B. $B=A-\lambda_1\mathbb I_2=A$. Aber $A$ ist nicht nilpotent, denn $A^n=A$ für alle $n\in\mathbb N$.

Man kann sogar mehr sagen: $A-\lambda\mathbb I_n$ ist genau dann nilpotent, wenn das charakteristische Polynom vollständig zerfällt und $\lambda$ der einzige Eigenwert von $A$ ist.

Du könntest überprüfen, ob \(\chi_B(\tilde{\lambda})=\det (\tilde{\lambda}I-B(\lambda))=\tilde{\lambda}^n\) gilt