Grenzwert einer Folge bestimmen

Aufrufe: 74     Aktiv: 05.07.2021 um 17:39

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Die Aufgabe lautet

Lim n gegen unendlich für 3n^2/n^2-4 = 3

Wär kann mir dabei helfen.
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gefragt

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 74

 

Klammere in Zähler und Nenner jeweils $n^2$ aus und kürze das weg. Was ist dann der Limes von jedem einzelnen Summanden?   ─   stal 03.07.2021 um 19:25
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Ich vermute, dass Du da Klammern weggelassen hast, wenn die Lösung 3 herauskommen soll.

Wenn Du die Lösung aber schon hast, wäre die Frage, was genau Du eigentlich wissen möchtest. Ich mache mal einen Versuch. Erstmal die 3 vor den Limes holen (warum darf man das?):
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2}{n^2+4} = \lim_{n\to\infty} 3\cdot \frac{n^2}{n^2+4}= 3\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2+4}
$$
Jetzt musst Du noch ordentlich begründen, warum der Grenzwert des Bruchs den Wert 1 hat. Dazu hilft tatsächlich richtiges Ausklammern und Kürzen von $n^2$. Denn die beiden $n^2$ einfach durch eine $1$ zu ersetzen, wäre falsches Kürzen (und es käme beim Bruch $0,2$ heraus und nicht $1$)
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Ich habe keine Klammer weggelassen, du hast die Aufgabe allerdings nicht richtig abgeschrieben. Es heißt -4. Zum notwendigen Ausklammern werden dann Klammern gesetzt. Die Aufgabe wurde genau so wie ich sie geschrieben habe von einem Dozenten geschrieben und mittlerweile weiß ich auch wie sie geht.   ─   atideva 03.07.2021 um 21:35

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Schön, dass Du es selbst herausbekommen hast.
Für mich ergab dei Aufgabe nur dann einen Sinn, wenn da die Klammern ergänzt werden. Und ja, habe mich bei $+4$ verschrieben. Mit $-4$ ändert sich an der Lösung aber gar nichts. Die Verwirrung deswegen tut mir Leid.

Trotzdem bin ich jetzt neugierig, wie das ohne Klammern geht. Ich dachte, dass das Geteilt-Zeichen / einen Bruchstrich ersetzen soll. Üblicherweise muss man den Nenner dann einklammern.

Wenn da keine Klammern fehlen, dann gilt nämlich Punktrechnung vor Strichrechnung und das /-Geteilt-Zeichen gilt dann nur für das $n^2$ und nicht für $-4$. Deshalb würde Deine Aufgabe ohne Klammern richtig formatiert so aussehen:
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{n^2}-4=3
$$
Und $n^2$ kann gekürzt werden. Dann steht da aber noch $\lim_{n\to\infty} 3-4=3$, also $3-4=3$. Und dann?
  ─   joergwausw 03.07.2021 um 22:19

Da ich mittlerweile weiß, wie es geht, hier noch mal die einzelnen Schritte. Die Aufgabe lautet lim n gegen unendlich für 3n^2/ n^2-4. So ist die Aufgabe korrekt mit einer normalen Tastatur geschrieben. Da gab es auch schon Kritik, die leider falsch ist. Nun besteht die Möglichkeit im Nenner n^2 auszuklammern, zu diesem Zweck setzt man jetzt klammern. Dann lautet die Aufgabe wie folgt lim n gegen unendlich für 3n^2/n^2(1-4/n^2). Die n^2 können weggekürzt werden und da ja n gegen unendlich läuft bleibt 3 als Grenzwert übrig.   ─   atideva 04.07.2021 um 14:48

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Ja, so ähnlich hatte ich die Lösung auch - allerdings sollte man der Vollständigkeit halber noch dazu schreiben, dass 4/n^2 gegen Null läuft und wegfällt (egal ob mit Plus oder Minus).

Noch etwas zur Kritik an der Schreibweise:
Wenn Du mit / einen Bruchstrichschreiben möchtest, dann ist die Schreibweise nicht eindeutig. Das liegt daran, dass / bei elektronischen Eingabegeräten das übliche Zeichen für die Division, also für "geteilt durch" ist. Wenn der Nenner Deines Bruchs aus einer Summe besteht, dann ist nicht klar, ob der zweite Summand unter dem Bruchstrich steht oder erst hinter dem Bruch addiert wird.
Beispiel:
$\frac{40}{4+1}=8$ würdest Du mit Deiner Schreibweise so eintippen: 40/4+1=8. Wie würdest Du dann $\frac{40}{4}+1=11$ eintippen? Vermutlich auf der linken Seite genauso: 40/4+1=11.
Üblich ist es deshalb, dass man den Nenner des Bruches einklammert, damit klar ist, welche der beiden Versionen gemeint ist.

Öffne doch mal den mitgelieferten Taschenrechner an Deinem Handy (keine Mathe-App) und gib 40/4+1 ein. Da kommt 11 heraus, also die zweite Version. Wenn Du 8 heraus haben möchtest (so wie Du die Rechnung interpretierst), dann musst Du Klammern in den Taschenrechner eingeben: 40/(4+1) - und das waren genau die Klammern, die ich vermisst habe. Jeder vernünftig programmierte Taschenrechner und jeder Computer macht das wegen der mangelnden Eindeutigkeit so. Und diese Klammern werden bei einer einzeiligen Schreibweise - wegen der Doppeldeutigkeit von / - auch von Menschen üblicherweise hingeschrieben.

Insofern besteht die Kritik, die Du offenbar nicht nur von mir bekommen hast, daran, dass Du eine Schreibweise benutzt, die andere nicht unmittelbar verstehen, weil es anders üblich ist. Man kann sich also nach der Mehrheit richten (inklusive dem, was ein Taschenrechner versteht) - oder man macht sein eigenes Ding. Dann kommt es aber vor, dass man missverstanden wird und Kritik bekommt :-) . Und andere Rechenergebnisse mit dem Taschenrechner bekommt man auch.
Oder man nutzt bei Fragen den Formelsatz hier auf der Plattform. Damit kann man die Brüche direkt ordentlich und richtig setzen, und eindeutig. Aber Moment: auch beim Formelsatz müsste man die Klammern setzen, damit es richtig wird... (irgendwie wollen alle diese Klammern haben....)

Bei Deiner Mittelwert-Frage gibt's übrigens das gleiche Problem mit dem Zähler: Was wäre denn nach Deiner Schreibweise 3+1/2? 3,5 oder 2? Frag mal den Taschenrechner am Handy.
  ─   joergwausw 04.07.2021 um 15:35

Zu dieser Aufgabe ist einmal zu sagen, daß sie von der Fernuni Hagen kommt. und daß ich bisher alle Fragen mit der Normal Tastatur dort auch gepostet habe es gab logischerweise niemals eine Reklamation. Eine Bruch auf der Normal Tastatur stellt man nach dem Zähler durch einen Schrägstrich dar. Sollte eine ganze Zahle, die nicht zu dem Bruch dazugehört dazugeschrieben werden, so wird ausreichend Abstand gelassen um das kenntlich zu machen. Mir geht es nicht um spezielle Schreibweisen,da ich weiß, dass diese bis auf diese Reaktion hier absolut verständlich ist. Mir geht es um Mathematik, und daß kann man in dieser Form auch problemlos wahrnehmen.   ─   atideva 05.07.2021 um 17:33

Aus diesem Grund ist diese Kritik gegenstandslos, da die Aufgabe mit der 4 als separater Zahl nicht aus meiner Aufgabe zu entnehmen ist.   ─   atideva 05.07.2021 um 17:39

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