Erstmal völlig richtig deine Überlegung. Zu Beginn des Jahres wird ausgezahlt. Das bedeutet immer vorschüssig.
Das bezieht sich hier aber auf den 65. Geburtstag. Nennen wir das Guthaben am 65 Geburtstag \(G_{65}\).
Dann bezieht sich die vorschüssige Auszahlung auf \(G_{65}\). Das ist das gleiche wie die nachschüssige Auszahlung bezogen auf 
das Guthaben am 64. Geburtstag \(G_{64}\). Und es gilt : \(G_{65} = q*G_{64}\).
Die Formel für vorschüssige Auszahlung ab 65.Geburtstag ist hier: \(G_{80} =G_{65}*q^{15}-9000*\displaystyle {\sum_{i=0}^{15}q^i}= G_{65}*q^{15}- 9000*\frac {q^{16}-1} {q-1}\) 
Die Formel für die nachschüssige Auszahlung (bezogen auf \(G_{64}\)) ist \(G_{80}= G_{64}*q^{16}- 9000*\displaystyle {\sum_{i=0}^{15}q^i}=G_{64}-9000*\frac {q^{16}-1} {q-1}\)
Die Formeln unterscheiden sich im Term \(G_{65}*q^{15} \text { zu } G_{64}*q^{16}\). Der Rest ist identisch (und entspricht dem \(R_{16}\) in der Aufgabe)
Weil aber gilt: \(G_{65} =q*G_{64}\) stimmen diese beiden Terme überein; d.h. beide Berechnungsmethoden liefern das gleiche Ergebnis.
Merke: vorschüssig - nachschüssig ist nur eine Periodenverschiebung in der Verzinsung.