Wenn man weiß, dass Verkettungen stetiger Funktionen wieder stetig sind, dann ist man damit eigentlich schon fertig. Stetigkeit im Intervall \( [1,2] \) bedeutet ja einfach nur, dass die Funktion \(f\) in jedem Punkt des Intervalls stetig ist.

Wenn man explizit die Stetigkeit im Intervall \( [1,2] \) überprüfen will, dann würde ich hier die Lipschitz-Stetigkeit nachweisen. (Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist immer auch lipschitz-stetig).

Seien also \( x,y \in [1,2] \) beliebig.

Zunächst erhält man

\( \vert x^3 - y^3 \vert \) \( = \vert (x^2+xy+y^3)(x-y) \vert \) \( = (x^2+xy+y^2) \vert x-y \vert \) \( \le (2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2) \vert x-y \vert \) \( = 12 \vert x-y \vert \)

und (mithilfe der dritten binomischen Formel)

\( \vert \sqrt{y^2+1} - \sqrt{x^2+1} \vert \) \( = \vert \frac{y^2+1-(x^2+1)}{\sqrt{y^2+1} + \sqrt{x^2+1}} \vert \) \( = \vert \frac{(y-x)(y+x)}{\sqrt{y^2+1} + \sqrt{x^2+1}} \vert \) \( = \frac{y+x}{\sqrt{y^2+1} + \sqrt{x^2+1}} \vert x-y \vert \) \( \le \frac{2+2}{1+1} \vert x-y \vert \) \( = 2 \vert x-y \vert \)

Damit folgt nun

\( \vert f(x) - f(y) \vert \) \( = \vert x^3 - \sqrt{x^2+1} - (y^3 - \sqrt{y^2 +1} ) \vert \) \( \le \vert x^3 - y^3 \vert + \vert \sqrt{y^2+1} - \sqrt{x^2+1} \vert \) \( \le 12 \vert x-y \vert + 2 \vert x-y \vert \) \( = 14 \vert x-y \vert \)

Also ist \( f \) im Intervall \( [1,2] \) lipschitz-stetig, insbesondere also auch stetig.