Teilbarkeit beweisen (3 und 4 teilen n, dann teilt 12 ebenfalls n)

Erste Frage Aufrufe: 30     Aktiv: 27.04.2021 um 11:19

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Wie beweise ich, dass eine Zahl n, die durch 3 und 4 teilbar ist auch durch 12 teilbar ist?
Ich weiß bereits, dass 3 und 4 als Produkt 12 ergeben, aber wie beweise ich es konkret?

Danke für die Hilfe! :)
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Dadurch, dass \(4\) ein Teiler von \(n\) ist, wissen wir, dass es ein \(k\in\mathbb Z\) gibt mit \(n=4k\). Nun verwenden wir, dass \(3\) \(n\) teilt, also \(3|4k\). Nach der Eigenschaft von Primzahlen (3 ist prim) gilt damit entweder \(3|4\) oder \(3|k\). \(3\) ist aber definitiv kein Teiler von \(4\), also gilt \(3|k\). Das heißt wiederum, dass es ein \(m\in\mathbb Z\) gibt mit \(k=3m\). Eingesetzt liefert das \(n=4k=12m\), also \(12|m\).
Allgemein und so ähnlich kann man zeigen \(x|n,y|n\Longrightarrow kgV(x,y)|n\).
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