Cauchykriterium

Aufrufe: 229     Aktiv: 13.04.2022 um 17:08

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Hallo alle!

Es geht hier um das Cauchykriterium. Die vollständige Aufgabenstellung lautet: Zeige mittels Cauchykriterium, dass folgende Folgen konvergieren.

Ich habe zwar einen Ansatz formuliert, aber ich bin mir nicht sicher, ob der Rechenweg so korrekt ist. Ist die Überlegung so richtig? Wie muss ich da genau vorgehen? Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen, da ich alleine nicht ganz zurecht komme. 

Meine Idee: 
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Es ist \(2^{-n}=\frac1{2^n}\not = 2^{1/n}\). Es bietet sich hier an oBdA anzunehmen, dass \(m \geq n\), dann ist nämlich \(|\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}|\leq \frac{1}{2^n}\), kommst du jetzt weiter?
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Erstmal danke Mathejean für deine Rückmeldung, aber durchblickt hab´ ich das ganze noch nicht ehrlich gesagt.   ─   anonym 12.04.2022 um 23:31

Okay, also wenn wir sagen, dass \(m\geq n\), dann ist \(\frac 1{2^n}\geq \frac 1{2^m}\). Nach Definition von Betrag ist dann \(|\frac1{2^n}-\frac{1}{2^m}|=\frac{1}{2^n}-\frac 1{2^m}\). Weil \(\frac 1 {2^m}\geq 0\), ist dies also kleiner als \(\frac 1{2^n}\). Hast du das bis hierhin verstanden?
Jetzt musst du ein \(N\in \mathbb{N}\) finden (oder zeigen, dass eins existiert), so dass \(\frac1{2^n}<\varepsilon \) für alle \(n\geq N\). Hier hast du ganz viele Möglichkeiten vorzugehen. Wenn du schon Logarithmus hattest, ist das wohl die offensichtliche Wahl, du kannst aber auch zeigen, dass \(\frac{1}{2^n}\leq \frac 1n\) ist. Oder du arbeitest wenn du schon kennst mit Bernoulli-Ungleichung oder binomischer Lehrsatz.
  ─   mathejean 13.04.2022 um 08:39

Mathejean, ich rechne alles schritt für schritt mal durch und melde mich hier wieder. Vielen dank für die Hilfe.   ─   anonym 13.04.2022 um 17:08

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