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Die Aussage ist bekannt als Prinzip von Inklusion und Exklusion. Eine Beweisidee geht ungefähr so:
Für eine Teilmenge \(X\subseteq M\) sei \(1_X\) die Abbildung (Indikatorfunktion) \(1_X:M\rightarrow \{0,1\} \) mit \(1_X(x) = 1\), falls \(x\in X\) und \(1_X(x) = 0\), falls \(x\notin X\).
Für \(X,Y\subseteq M\) gilt dann \(1_{X \cap Y} = 1_X\cdot1_Y\).
Für eine Teilmenge \(X\subseteq M\) sei \(1_X\) die Abbildung (Indikatorfunktion) \(1_X:M\rightarrow \{0,1\} \) mit \(1_X(x) = 1\), falls \(x\in X\) und \(1_X(x) = 0\), falls \(x\notin X\).
Für \(X,Y\subseteq M\) gilt dann \(1_{X \cap Y} = 1_X\cdot1_Y\).
Zur Abkürzung schreibt man \(Z = A\cup B \cup C\) und sieht dann ein, dass \[(1_Z-1_A)\cdot (1_Z-1_B) \cdot (1_Z-1_C) = 0\] Die Faktoren für ein \(x\) sind nämlich entweder alle von der Form \(0=(0-0)\), falls \(x\notin Z\) oder wenigstens ein Faktor ist \(0=(1-1)\), falls \(x \in Z\). Multipliziert man die linke Seite aus und stellt nach \(1_Z\) um, ist man eigentlich schon am Ziel. Dazu muss man nur noch \(|X| = \sum_{m\in M} 1_X(m)\) verwenden.
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wrglprmft
Punkte: 50
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Okay, vieeelen Dank für die Hinweise. Das hilft mir weiter.
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mathemitmoritz
12.03.2024 um 18:07
