Betrag deier endlicher Mengen

Aufrufe: 98     Aktiv: 12.03.2024 um 18:07

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Hallo zusammen,

eine Aufgabe lautet:

"Seien A, B, C endliche Teilmengen einer Menge M. Zeigen Sie:
|A u B u C| = |A| + |B| + |C| - |A n B| - |A n C| - |B n C| + |B n B n C|"

u: Vereinigung
n: Durchschnitt

Ich verstehe die Aussage und kann das grafisch zeigen. Aber wie "zeigt" man das rechnerisch?
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Die Aussage ist bekannt als Prinzip von Inklusion und Exklusion. Eine Beweisidee geht ungefähr so:
Für eine Teilmenge \(X\subseteq M\) sei \(1_X\) die Abbildung (Indikatorfunktion) \(1_X:M\rightarrow \{0,1\} \) mit \(1_X(x) = 1\), falls \(x\in X\) und \(1_X(x) = 0\), falls \(x\notin X\).

Für \(X,Y\subseteq M\) gilt dann \(1_{X \cap Y} = 1_X\cdot1_Y\). 

Zur Abkürzung schreibt man \(Z = A\cup B \cup C\) und sieht dann ein, dass \[(1_Z-1_A)\cdot (1_Z-1_B) \cdot (1_Z-1_C) = 0\] Die Faktoren für ein \(x\) sind nämlich entweder alle von der Form \(0=(0-0)\), falls \(x\notin Z\) oder wenigstens ein Faktor ist \(0=(1-1)\), falls \(x \in Z\). Multipliziert man die linke Seite aus und stellt nach \(1_Z\) um, ist man eigentlich schon am Ziel. Dazu muss man nur noch \(|X| = \sum_{m\in M} 1_X(m)\) verwenden.
 
 
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Okay, vieeelen Dank für die Hinweise. Das hilft mir weiter.   ─   mathemitmoritz 12.03.2024 um 18:07

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Wenn Mengen disjunkt sind, addieren sich die Mächtigkeiten bei Vereinigung. Betrachte also dein Bild genau, darin die Mengen auf der rechten Seite.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.83K

 

Stimmt, zwischen den letzten Betragsstichen muss ein B durch A ersetzt werden:

|A u B u C| = |A| + |B| + |C| - |A n B| - |A n C| - |B n C| + |A n B n C|

So stimmt es..
  ─   mathemitmoritz 12.03.2024 um 15:31

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