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Hallo the peasant
Ich glaube bei dieser Aufgabe geht es vor allem darum modulares potenzieren zu üben, bzw. zu wissen, wie man damit umgeht. Bei z.B der Addition und der Multiplikation in Restklassenringen(/körpern) darfst du die einzelnen 'Bausteine' zuerst modulo nehmen und dann mit einander verrechnen, angewendet auf das Potenzieren heisst das also:
Die Basis darfst du modulo nehmen den Exponenten aber nicht (potenzieren hintereinanderschaltung von Multiplikation). Also wie kann man hier vorgehen. Vereinfache zuerst die Basis, also in deinem Fall \(11 \equiv 4\) und \(66 \equiv 3\), berechne also nun \(4^{66}+3^{11} \equiv_7\). HIer kommt nun der eigentliche Trick, formel, mit Potenzregeln, die zwei Terme um, sodass du die Basis genügend vereinfachen kannst, sodass du es im Kopf rechnen kannst.
Ich habe \(6\) erhalten, aber habs im Kopf gerechnet, wir können Rechenwege vergleichen, wenn du ein anderes Resultat hast.
Lg und viel Spass beim lösen
Ich glaube bei dieser Aufgabe geht es vor allem darum modulares potenzieren zu üben, bzw. zu wissen, wie man damit umgeht. Bei z.B der Addition und der Multiplikation in Restklassenringen(/körpern) darfst du die einzelnen 'Bausteine' zuerst modulo nehmen und dann mit einander verrechnen, angewendet auf das Potenzieren heisst das also:
Die Basis darfst du modulo nehmen den Exponenten aber nicht (potenzieren hintereinanderschaltung von Multiplikation). Also wie kann man hier vorgehen. Vereinfache zuerst die Basis, also in deinem Fall \(11 \equiv 4\) und \(66 \equiv 3\), berechne also nun \(4^{66}+3^{11} \equiv_7\). HIer kommt nun der eigentliche Trick, formel, mit Potenzregeln, die zwei Terme um, sodass du die Basis genügend vereinfachen kannst, sodass du es im Kopf rechnen kannst.
Ich habe \(6\) erhalten, aber habs im Kopf gerechnet, wir können Rechenwege vergleichen, wenn du ein anderes Resultat hast.
Lg und viel Spass beim lösen
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michael joestar
Student, Punkte: 495
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Bemerkung: 6 ist die richtige Lösung, hab es eben noch überprüft. Es gibt verschiedene Rechenwege
─
michael joestar
28.04.2021 um 00:50
Oh wow, das ist ja mal ne ganz ausführliche Erklärung! Vielen vielen Dank schon mal dafür! ;-)
Nun, das einzige was mich wundert:
Du sagtest ja, dass ich es nun umformen bzw. vereinfachen soll durch Potenzregeln, aber wir haben hier ja zwei verschiedene Basen? Und wenn ich mir so die Gesetze anschaue, dann steht dort meistens, dass es nur möglich sei, wenn die Basis oder der Exponent zumindest gleich sind.
Also ich habe jetzt diese Rechnung hier 4^66 + 3^11 ≡7 noch ein bisschen weiter vereinfacht indem ich
jetzt die Exponenten jeweils mit mod 7 berechnet habe, dann erhalte ich also:
(I) 4^3 + 3^4 ≡7
(II) 64 + 81 ≡7 145
(III) 145 ≡7 5??
Ich habe hier irgendwie 5 herausbekommen, ich denke, dass ich hier wahrscheinlich auch was falsch gemacht habe, weil
es irgendwie verdächtig falsch aussieht... 😅
Habe ich hier vielleicht etwas übersehen?
─ thepeasant 28.04.2021 um 09:30
Nun, das einzige was mich wundert:
Du sagtest ja, dass ich es nun umformen bzw. vereinfachen soll durch Potenzregeln, aber wir haben hier ja zwei verschiedene Basen? Und wenn ich mir so die Gesetze anschaue, dann steht dort meistens, dass es nur möglich sei, wenn die Basis oder der Exponent zumindest gleich sind.
Also ich habe jetzt diese Rechnung hier 4^66 + 3^11 ≡7 noch ein bisschen weiter vereinfacht indem ich
jetzt die Exponenten jeweils mit mod 7 berechnet habe, dann erhalte ich also:
(I) 4^3 + 3^4 ≡7
(II) 64 + 81 ≡7 145
(III) 145 ≡7 5??
Ich habe hier irgendwie 5 herausbekommen, ich denke, dass ich hier wahrscheinlich auch was falsch gemacht habe, weil
es irgendwie verdächtig falsch aussieht... 😅
Habe ich hier vielleicht etwas übersehen?
─ thepeasant 28.04.2021 um 09:30
Also wir wissen ja, dass wir nur die Basis modulo rechnen dürfen, also benutze \((a^{b})^{c} = a^{bc}\). Beispiel \(3^{11} = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3 = 9^5 \cdot 3\), nun haben wir eine \(9\) in der Basis und können diese wieder modulo nehmen und erhalten \(2^5*3\) und das kann man jetzt einfach berechnen, gehen analog vor für \(4^{66}\)
─
michael joestar
28.04.2021 um 10:37
Wie genau bist Du hier auf die 9^5 gekommen? 🤔
─
thepeasant
28.04.2021 um 10:41
Hab nur den halben Kommentar gesehen, also bevor er aufgeklappt ist, hier ein kurzes warum:
!!!Achtung: die Exponenten darfst du nicht modulo rechnen: Beispiel im \(\mathbb{Z}_3\): berechne \(5^4 = 625 = 1\), aber wenn ich den Exponenten modulo rechne erhalte ich \(5^1=5=2\) ─ michael joestar 28.04.2021 um 10:43
!!!Achtung: die Exponenten darfst du nicht modulo rechnen: Beispiel im \(\mathbb{Z}_3\): berechne \(5^4 = 625 = 1\), aber wenn ich den Exponenten modulo rechne erhalte ich \(5^1=5=2\) ─ michael joestar 28.04.2021 um 10:43
weil \(3^2 = 9\)ist und das haben wir 5-mal
─
michael joestar
28.04.2021 um 10:43
Oh, das war mein Fehler, hab' es später bearbeitet nachdem Du schon ein Kommentar geschrieben hast.... 😅
Aso, ja dann probiere ich es mal mit 4^66:
----------------------------------------------------------------------
4^66 = (4^11)^6
4^11 = (4^2 * 4^2 * 4^2 * 4^2 * 4^2 * 4) ===> (16^5 * 4)^6
----------------------------------------------------------------------
Ist das so richtig?
─ thepeasant 28.04.2021 um 10:53
Aso, ja dann probiere ich es mal mit 4^66:
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4^66 = (4^11)^6
4^11 = (4^2 * 4^2 * 4^2 * 4^2 * 4^2 * 4) ===> (16^5 * 4)^6
----------------------------------------------------------------------
Ist das so richtig?
─ thepeasant 28.04.2021 um 10:53
der erste Schritt sieht gut aus, beim zweiten hast du dann glaub ich einen Fehler gemacht. Weiter ist der Ausdruck \(16^{18}\) ja nicht wirklich einfacher, bzw nochnicht ganz vereinfacht, jetzt könntest du noch \(16\) modulo 7 rechnen.
Aber der Sinn warum man es so aufsplitet, ist dass man es vereinfachen kann, also z.B \(4^{11}=4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4 \), jetzt willst du eigentlich die \(4^2 = 16\) vereinfachen und erhältst dann \(4^{11}= 16^5 \cdot 4 = 2^5 \cdot 4 = 32 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16 = 2\) und das ist jetzt viel einfacher und kannst nun also \(4^{11}=2\) einsetzen und fertig rechnen, mach dir klar jeden Schritt verstanden zu haben. ─ michael joestar 28.04.2021 um 11:55
Aber der Sinn warum man es so aufsplitet, ist dass man es vereinfachen kann, also z.B \(4^{11}=4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4 \), jetzt willst du eigentlich die \(4^2 = 16\) vereinfachen und erhältst dann \(4^{11}= 16^5 \cdot 4 = 2^5 \cdot 4 = 32 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16 = 2\) und das ist jetzt viel einfacher und kannst nun also \(4^{11}=2\) einsetzen und fertig rechnen, mach dir klar jeden Schritt verstanden zu haben. ─ michael joestar 28.04.2021 um 11:55
Okay, also ich habe es da oben nochmals aktualisiert, diesmal lasse ich es jetzt stehen, nicht dass Du dann noch verwirrt bist von den ganzen Änderungen...Typisch Frauen halt..... 🤷♀️
Nachdem ja 4^11 = 2 ist, kann ich es da oben nun einsetzten,
4^66 = (4^11)^6 <--- hier einsetzen
4^66 = (2)^6
==> 64
Dann haben wir also schlussendlich (2^5 * 3) + 64 = 96 + 64 = 160 mod 7 = 6
Oder? ─ thepeasant 28.04.2021 um 12:06
Nachdem ja 4^11 = 2 ist, kann ich es da oben nun einsetzten,
4^66 = (4^11)^6 <--- hier einsetzen
4^66 = (2)^6
==> 64
Dann haben wir also schlussendlich (2^5 * 3) + 64 = 96 + 64 = 160 mod 7 = 6
Oder? ─ thepeasant 28.04.2021 um 12:06
Super, ja jetzt ist alles korrekt!
Ich schreib Dir trotzdem noch den 'schnelleren' Weg hin. Einfacher wäre gewesen am Anfang zu merken, dass \(4^3 = 64 \equiv_7 1\) ist und also \(4^{66}=(4^3)^{22} \equiv_71^{22}\) und dann ist schon gelöst. Lasse die Restklasse für dich arbeiten. ^^ ─ michael joestar 28.04.2021 um 12:43
Ich schreib Dir trotzdem noch den 'schnelleren' Weg hin. Einfacher wäre gewesen am Anfang zu merken, dass \(4^3 = 64 \equiv_7 1\) ist und also \(4^{66}=(4^3)^{22} \equiv_71^{22}\) und dann ist schon gelöst. Lasse die Restklasse für dich arbeiten. ^^ ─ michael joestar 28.04.2021 um 12:43
Yay, ich Danke Dir, jetzt habe ich es endlich meistern können mit Deiner Hilfe natürlich. ;-)
Das wäre ja wirklich viel einfacher gewesen, aber naja, wieder mal typisch Frau würde ich sagen. 😅
─ thepeasant 28.04.2021 um 14:06
Das wäre ja wirklich viel einfacher gewesen, aber naja, wieder mal typisch Frau würde ich sagen. 😅
─ thepeasant 28.04.2021 um 14:06
Ich habe noch eine kurze Fragen zu b.) bei der Aufgabe:
Die Rechnung lautet ja 111^666 + 666^111 ≡7 x
Nun habe ich es versucht zu vereinfachen, aber irgendwie drehe ich mich da im Kreis:
Zum Beispiel:
111^666 = ?
1.) 111 mod 7 => 6^666
2.) 6^666 => (6^111)^6
3.) 6^111 => 6^37 * 6^37 * 6^37 => ((6^37)^3)^6
4.) 6^37 => 6^18 * 6^18 * 6^18 => (((6^18)^3)^3))^6
5.) 6^18 => 6^9 * 6^9 => ((((6^9)^2)^3)^3)))^6
.....
ab hier merke ich, dass es irgendwie ein bisschen kompliziert wird, weil wenn ich dann weiterrechne, dann bekomme ich schlussendlich 6^108 heraus und das
müsste ich dann wieder zerlegen. Muss ich da wieder etwas besonderes beachten? 😅
─ thepeasant 28.04.2021 um 21:10
Die Rechnung lautet ja 111^666 + 666^111 ≡7 x
Nun habe ich es versucht zu vereinfachen, aber irgendwie drehe ich mich da im Kreis:
Zum Beispiel:
111^666 = ?
1.) 111 mod 7 => 6^666
2.) 6^666 => (6^111)^6
3.) 6^111 => 6^37 * 6^37 * 6^37 => ((6^37)^3)^6
4.) 6^37 => 6^18 * 6^18 * 6^18 => (((6^18)^3)^3))^6
5.) 6^18 => 6^9 * 6^9 => ((((6^9)^2)^3)^3)))^6
.....
ab hier merke ich, dass es irgendwie ein bisschen kompliziert wird, weil wenn ich dann weiterrechne, dann bekomme ich schlussendlich 6^108 heraus und das
müsste ich dann wieder zerlegen. Muss ich da wieder etwas besonderes beachten? 😅
─ thepeasant 28.04.2021 um 21:10
Also prinzipiell funktioniert dein Vorgehen auch, aber es ist sehr umständlich. Ich beschreib Dir mal, wie ich die Aufgabe angehe.
Ich suche einfach Potenzen der Basis (6 in diesem Fall), sodass sie etwas sehr einfaches \( 0 \lor1\lor 2\) ergeben, wenn man sie modulo \(n\) rechnet. Also konkreter \(x^k \equiv_7 \{[0], [1], [2] \} \) für \(x\) deine Basis.
Was eignet sich in deinem Fall also gut für \(k\)? ─ michael joestar 28.04.2021 um 22:03
Ich suche einfach Potenzen der Basis (6 in diesem Fall), sodass sie etwas sehr einfaches \( 0 \lor1\lor 2\) ergeben, wenn man sie modulo \(n\) rechnet. Also konkreter \(x^k \equiv_7 \{[0], [1], [2] \} \) für \(x\) deine Basis.
Was eignet sich in deinem Fall also gut für \(k\)? ─ michael joestar 28.04.2021 um 22:03
Zum Beispiel wäre für k die Zahl 2 gut geeignet, denn 6^2 = 36 mod 7 = 1
Oder? :-) ─ thepeasant 28.04.2021 um 22:52
Oder? :-) ─ thepeasant 28.04.2021 um 22:52
Genau und jetzt ist die Aufgabe eigentlich schon gelöst. ^^ (ich komme dann auf die Lösugn \(x\equiv_72\))
─
michael joestar
29.04.2021 um 00:03
111^666 = ?
1.) 111 mod 7 => 6^666
2.) 6^666 => (6^2)^55 ==> 1^55 ==> 1
666^111 = ?
1.) 666 mod 7 => 1
2.) 1^111 => 1
1 + 1 = 2
Ja stimmt, ich komme auch auf die 2.
Vielen Dank, dass Du mir Deine helfende Hand nochmals gereicht hast,
Da kann ich Dir als Gegenleistung höchstens eine gute Bewertung anbieten. :-] ─ thepeasant 29.04.2021 um 00:36
1.) 111 mod 7 => 6^666
2.) 6^666 => (6^2)^55 ==> 1^55 ==> 1
666^111 = ?
1.) 666 mod 7 => 1
2.) 1^111 => 1
1 + 1 = 2
Ja stimmt, ich komme auch auf die 2.
Vielen Dank, dass Du mir Deine helfende Hand nochmals gereicht hast,
Da kann ich Dir als Gegenleistung höchstens eine gute Bewertung anbieten. :-] ─ thepeasant 29.04.2021 um 00:36