Warum wird die 0 auf zwei Elemente abgebildet? Wie sieht denn deine Abbildung aus?

Bijektiv ist eine Eigenschaft von Abbildungen. Wenn es eine bijektive Abb. zwischen N und Z gibt, sind beide Mengen gleichmächtig. Die Zuordnung, die Du unausgesprochen im Kopf hast: $0\mapsto 0, 1\mapsto \pm1,...$ ist, wie Du schon gemerkt hast, gar keine Funktion und kann daher auch nicht bijektiv sein.
Das heißt aber nicht, dass es keine anderen bijektiven Abbildungen zwischen N und Z gibt.
Hier https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge#Ganze_Zahlen findest Du eine solche Abbildung. Es reicht, wenn man sieht, dass es eine bijektive Abbildung ist. Diese nennt man an diesem Fall auch "Abzählung". Diese kann man auch als f(n) schreiben: nämlich mit Fallunterscheidung:
$f:N\longrightarrow Z$, def. durch $f(n)=\begin{cases} \frac{n}2 & n \text{ gerade}\\ ... & n \text{ ungerade}\end{cases}$.
Bei den ... versuche mal selbst den Term zu finden.