Sind /N und Z gleichmächtig?

Erste Frage Aufrufe: 46     Aktiv: 05.11.2021 um 16:40

0

Ich frage mich ob alle natürlichen Zahlen /N also [0,1,2,...] und 

alle ganzen Zahlen [0, +1, -1, +2, -2,...] gleichmächtig sind also bijektiv sind. 

Denn die 0 würde ja auf zwei Elemente abgebildet werden somit wäre es nicht mehr bijektiv oder habe ich 

Was falsch verstanden? 

Danke im Vorraus :) 

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
0
Warum wird die 0 auf zwei Elemente abgebildet? Wie sieht denn deine Abbildung aus?
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 15.38K

 

https://share-your-photo.com/df12de6274

Ist von meinem Prof.
  ─   userc9fab5 05.11.2021 um 16:40

Kommentar schreiben

0
Bijektiv ist eine Eigenschaft von Abbildungen. Wenn es eine bijektive Abb. zwischen N und Z gibt, sind beide Mengen gleichmächtig. Die Zuordnung, die Du unausgesprochen im Kopf hast: $0\mapsto 0, 1\mapsto \pm1,...$ ist, wie Du schon gemerkt hast, gar keine Funktion und kann daher auch nicht bijektiv sein.
Das heißt aber nicht, dass es keine anderen bijektiven Abbildungen zwischen N und Z gibt.
Hier https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge#Ganze_Zahlen findest Du eine solche Abbildung. Es reicht, wenn man sieht, dass es eine bijektive Abbildung ist. Diese nennt man an diesem Fall auch "Abzählung". Diese kann man auch als f(n) schreiben: nämlich mit Fallunterscheidung:
$f:N\longrightarrow Z$, def. durch $f(n)=\begin{cases} \frac{n}2 & n \text{ gerade}\\ ... & n \text{ ungerade}\end{cases}$.
Bei den ... versuche mal selbst den Term zu finden.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 19.08K

 

Kommentar schreiben